一元二次方程的解法教案

時間：2026-01-29 21:07:03 教案

一元二次方程的解法教案

　　作為一名教師，常常要寫一份優秀的教案，教案是實施教學的主要依據，有著至關重要的作用。那么應當如何寫教案呢？以下是小編收集整理的一元二次方程的解法教案，歡迎大家分享。

一元二次方程的解法教案

一元二次方程的解法教案1

　　教學內容

　　間接即通過變形運用開平方法降次解方程．

　　教學目標

　　理解間接即通過變形運用開平方法降次解方程，并能熟練應用它解決一些具體問題．

　　通過復習可直接化成x2=p（p≥0）或（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面兩種形式的解題步驟．

　　重難點關鍵

　　1．重點：講清“直接降次有困難，如x2+6x-16=0的一元二次方程的解題步驟．

　　2．難點與關鍵：不可直接降次解方程化為可直接降次解方程的“化為”的轉化方法與技巧．

　　教學過程

　　一、復習引入

　　（學生活動）請同學們解下列方程

　　（1）3x2-1=5 （2）4（x-1）2-9=0 （3）4x2+16x+16=9

　　老師點評：上面的方程都能化成x2=p或（mx+n）2=p（p≥0）的形式，那么可得x=± 或mx+n=± （p≥0）．

　　如：4x2+16x+16=（2x+4）2

　　二、探索新知

　　列出下面二個問題的方程并回答：

　　（1）列出的經化簡為一般形式的方程與剛才解題的方程有什么不同呢？

　　（2）能否直接用上面三個方程的解法呢？

　　問題1：印度古算中有這樣一資骸耙蝗漢鎰臃至蕉櫻吒咝誦嗽謨蝸罰?八分之一再平方，蹦蹦跳跳樹林里；其余十二嘰喳喳，伶俐活潑又調皮，告我總數共多少，兩隊猴子在一起”．

　　大意是說：一群猴子分成兩隊，一隊猴子數是猴子總數的的平方，另一隊猴子數是12，那么猴子總數是多少？你能解決這個問題嗎？問題2：如圖，在寬為20m，長為32m的矩形地面上，修筑同樣寬的兩條平行且與另一條相互垂直的'道路，余下的六個相同的部分作為耕地，要使得耕地的面積為5000m2，道路的寬為多少？老師點評：問題1：設總共有x只猴子，根據題意，得：x=（ x）2+12

　　整理得：x2-64x+768=0

　　問題2：設道路的寬為x，則可列方程：（20-x）（32-2x）=500

　　整理，得：x2-36x+70=0

　　（1）列出的經化簡為一般形式的方程與前面講的三道題不同之處是：前三個左邊是含有x的完全平方式而后二個不具有．

　　（2）不能．

　　既然不能直接降次解方程，那么，我們就應該設法把它轉化為可直接降次解方程的方程，下面，我們就來講如何轉化：

　　x2-64x+768=0 移項→ x=2-64x=-768

　　兩邊加（）2使左邊配成x2+2bx+b2的形式 → x2-64x+322=-768+1024

一元二次方程的解法教案2

　　【知識與技能】

　　1.理解一元二次方程求根公式的推導過程，了解公式法的概念.

　　2.會熟練應用公式法解一元二次方程.

　　【過程與方法】

　　通過復習配方法解一元二次方程，引導學生推導出求根公式，使學生進一步認識特殊與一般的關系.

　　【情感態度】

　　經歷探索求根公式的過程，培養學生抽象思維能力，滲透辯證唯物主義觀點.

　　【教學重點】

　　求根公式的推導和公式法的應用.

　　【教學難點】

　　一元二次方程求根公式的推導.

　　一、情境導入，初步認識

　　用配方法解方程：（1）x2+3x+2=0 （2）2x2-3x+5=0

　　解：（1）x1=-1,x2=-2 （2）無解

　　二、思考探究，獲取新知

　　如果這個一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步驟求出它們的兩根？

　　問題已知ax2+bx+c=0（a≠0），試推導它的兩個根

　　【分析】因為前面具體數字的題目已做得很多，現在不妨把a,b,c也當成具體數字，根據上面的解題步驟就可以推導下去.

　　探究一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系數a,b,c而定，因此:

　　（1）解一元二次方程時，可以先將方程化為一般形式ax2+bx+c=0，當b2-4ac≥0時，將a,b,c代入式子就得到方程的根，當b2-4ac＜0時,方程沒有實數根.

　　（2）叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式.

　　（3）利用求根公式解一元二次方程的'方法叫公式法.

　　【教學說明】教師可以引導學生利用配方法推出求根公式，體驗獲取知識的過程，體會成功的喜悅，可讓學生小組展示.

　　例1 用公式法解下列方程：

　　①2x2-4x-1=0 ②5x+2=3x2

　　③（x-2）（3x-5）=0 ④4x2-3x+1=0

　　解：①x1=1+ ,x2=1-

　　②x1=2,x2=-

　　③x1=2,x2=

　　④無解

　　【教學說明】（1）對②、③要先化成一般形式；（2）強調確定a,b,c的值，注意它們的符號；（3）先計算b2-4ac的值，再代入公式.

　　三、運用新知，深化理解

　　1.用公式法解下列方程：

　　（1）x2+x-12=0

　　（2）x2- x- =0

　　（3）x2+4x+8=2x+11

　　（4）x（x-4）=2-8x

　　（5）x2+2x=0

　　（6）x2+2 x+10=0

　　解：（1）x1=3,x2=-4;

　　（2）x1= ,x2= ；

　　（3）x1=1,x2=-3;

　　（4）x1=-2+ ，x2=-2- ；

　　（5）x1=0,x2=-2;

　　（6）無解.

　　【教學說明】用公式法解方程關鍵是要先將方程化為一般形式.

　　四、師生互動，課堂小結

　　1.求根公式的概念及其推導過程.

　　2.公式法的概念.

　　3.應用公式法解一元二次方程.

　　1.布置作業：從教材相應練習和“習題22.2”中選取.

　　2.完成練習冊中本課時練習的“課時作業”部分.

　　在學習活動中，要求學生主動參與，認真思考，比較觀察，交流與表述，體驗知識的獲取的過程，激發學生的學習興趣，利用師生的雙邊活動，適時調試，從而提高學習效率.

一元二次方程的解法教案3

　　知識目標

　　了解二元一次方程、二元一次方程組及其解等有關概念，并會判斷一組數是不是某個二元一次方程組的解。

　　能力目標

　　通過討論和練習，進一步培養學生的觀察、比較、分析的能力。

　　情感目標

　　通過對實際問題的分析，使學生進一步體會方程是刻畫現實世界的有效數學模型，培養學生良好的數學應用意識。

　　教學重點

　　二元一次方程組的含義

　　教學難點

　　判斷一組數是不是某個二元一次方程組的解，培養學生良好的數學應用意識。

　　教學過程

　　一、引入、實物投影

　　1、師：在一望無際呼倫貝爾大草原上，一頭老牛和一匹小馬馱著包裹吃力地行走著，老牛喘著氣吃力地說：累死我了，小馬說：你還累，這么大的個，才比我多馱2個老牛氣不過地說：哼，我從你背上拿來一個，我的包裹就是你的2倍！，小馬天真而不信地說：真的？！同學們，你們能否用數學知識幫助小馬解決問題呢？

　　2、請每個學習小組討論(討論2分鐘，然后發言)

　　這個問題由于涉及到老牛和小馬的馱包裹的兩個未知數，我們設老牛馱x個包裹，小馬馱y個包裹，老牛的包裹數比小馬多2個，由此得方程x-y=2，若老牛從小馬背上拿來1個包裹，這時老牛的包裹是小馬的2倍，得方程：x+1=2(y-1)

　　師：同學們能用方程的方法來發現、解決問題這很好，上面所列方程有幾個未知數？含未知數的.。項的次數是多少？(含有兩個未知數，并且所含未知數項的次數是1)

　　師：含有兩個未知數，并且含未知數項的次數都是1的方程叫做二元一次方程

　　注意：這個定義有兩個地方要注意①、含有兩個未知數，②、含的次數是一次

　　練習

　　下列方程有哪些是+2y=1xy+x=13x-=5x2-2=3x

　　xy=12x(y+1)=c2x-y=1x+y=0

　　二、議一議、

　　師：上面的方程中x-y=2的x含義相同嗎？

一元二次方程的解法教案4

　　1、教材分析

　　（1）知識結構

　　（2）重點、難點分析

　　重點：①確定圓的定理.它是圓中的基礎知識，是確定圓的理論依據；②不在同一直線上的三點作圓.“作圓”不僅體現在證明“確定圓的定理”的重要作用，也是解決實際問題中常用的方法；③反證法證明命題的一般步驟.反證法雖是選學內容，但它是證明數學命題的重要的基本方法之一.

　　難點：反證法不是直接以題設推出結論，而是從命題結論的反面出發，引出矛盾，從而證明原命題正確，又因為矛盾的多樣化，學生剛剛接觸，所以反證法不僅是本節的難點，也是本章的難點.

　　2、教學建議

　　本節內容需要兩個課時.在第一課時過三點的圓的教學中：

　　（1）把課堂活動設計的重點放在如何調動學生的主體和發現問題、解決問題的能力上.讓學生作圖、觀察、分析、概括出定理.

　　（2）組織學生開展“找直角、銳角和鈍角三角形的外心”的位置活動，在激發學生的學習興趣中，提高作圖能力.

　　（3）在教學中，解決過已知點作圓的問題，應緊緊抓住對圓心和半徑的探討，已知圓心和半徑就可以作一個圓，這是從圓的定義引出的基本思路，因此作圓的.問題就是如何根據已知條件去找圓心和半徑的問題．由于作圓要經過已知點，如果圓心的位置確定了，圓的半徑也就隨之確定，因此作圓的問題又變成了找圓心的問題，是否可以作圓以及能作多少個圓，都取決于能否確定圓心的位置和圓心的個數.

　　在第二課時反證法的教學中：

　　（1）對于A層的學生盡量使學生理解并會簡單應用，對B層的學生使學生了解即可.

　　（2）在教學中老師要精講：①為什么要用反證法；②反證法的基本步驟；③精講精練.

　　第一課時

　　一、素質教育目標

　　（一）知識教學點

　　1．本節課使學生了解“不在同一條直線上三點確定一個圓”的定理及掌握它的作圖方法。

　　2．了解三角形的外接圓，三角形的外心，圓的內接三角形的概念。

　　（二）能力訓練點

　　1．培養學生觀察、分析、概括的能力；

　　2．培養學生準確簡述自己觀點的能力；

　　3．培養學生動手作圖的準確操作的能力。

　　（三）德育滲透點

　　通過引言的教學，激發學生的學習興趣，培養學生的知識來源于實踐又反過來作用于實踐的辯證只許物主義觀念。

　　（四）美育滲透點

　　通過對圓的進一步學習，使學生既能體會圓的完美性（與其他圖形的結合等），又培養美育素質，提高對數學中美的欣賞。

　　二、教學步驟

　　（一）教學過程

　　學生在教師的引導下，親自動手試驗發現經過三點的圓，這三點的位置要進行討論．有兩種情況：①在一條直線上三點；②不在一條直線上三點，通過學生小組的討論認為不在同一條直線上三點能確定一個圓．怎樣才能做出這個圓呢？這時教師出示幻燈片．

　　例1?作圓，使它經過不在同一直線上三點．

　　由學生分析首先得出這個命題的題設和結論．

　　已知：，求作：⊙ O ，使它經過 A 、B 、C 三點．

　　接著教師進一步引導學生分析要作一個圓的關鍵是要干什么？由于一開課在設計學校的位置時，學生已經有了印象，學生會很快回答是確定圓心，確定圓心的方法：作的三邊垂直平分線，三邊垂直平分線的交點 O 就是圓心．圓心 O 確定了，那么要經過三點 A 、 B 、C 的圓的半徑可以選 OA 或 OB 都可以．作圖過程教師示范，學生和老師一起完成．一邊作圖，一邊指導學生規范化的作圖方法及語言的表達要準確．

　　定理：不在同一條直線上的三個點確定一個圓．

　　注意：經過在同一條直線上三點不能確定一個圓．

　　這樣做的目的，不是教師“填鴨式”地往里灌，而是學生自己經過探索確定圓的條件，這樣得到的結論印象深刻，效果要比全部由老師講更好．

　　接著，由于學生完成了作圓的過程，引導學生觀察這個圓與的頂點的關系，得出：經過三角形各項點的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心叫做三角形的外心，這個三角形叫做這個圓的內接三角形．

　　強調“接”指三角形的頂點在圓上，“內接”、“外接”指在一個圖形的“里面”和“外面”．理解這些術語的意義，指出語言表達的規范化．為了更好地掌握新概念，出示練習題（投影）．

　　練習1：按圖填空：

　　（1）是⊙ O 的_________三角形；

　　（2）⊙ O 是的_________圓，

　　這組題的目的就是理解“內接”，“外接”的含意．

　　練習2：判斷題：

　　（1）經過三點一定可以作圓；（??）

　　（2）任意一個三角形一定有一個外接圓，并且只有一個外接圓；（??）

　　（3）任意一個圓一定有一個內接三角形，并且只有一個內接三角形；（??）

　　（4）三角形的外心是三角形三邊中線的交點；（??）

　　（5）三角形的外心到三角形各項點的距離相等．（??）

　　這組練習題主要鞏固對本節課的定理和有關概念的理解，加深學生對概念辨析的準確性．

　　練習3：

　　經過4個（或4個以上的）點是不是一定能作圓？

　　練習4：

　　選擇題：鈍角三角形的外心在三角形（??）

　　（A）內部（B）一邊上（C）外部（D）可能在內部也可能在外部

　　練習3．4兩道小題，引導學生動手畫一畫，和對定理的理解是否深刻，訓練學生思維的廣闊性和準確性有關．

　　練習5：教材P．59中4題（略）．

　　習題作業的參考方案

　　練習1：內接、外接．

　　練習2：（1）×（2）√（3）×（4）×（5）√

　　練習3：不一定．因為要想作經過4個點的圓，應先作經過其中不在同一條直線上三點的圓，而第四個點到該圓圓心的距離不一定等于半徑．所以經過4個點不一定能作圓．

　　練習4．C

　　練習5．略．

　　（二）總結、擴展

　　師生共同完成總結．

　　知識點方面：

　　2．（l）三角形外接圓的圓心叫做三角形的外心；（2）三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點；（3）三角形的外心到三角形的三個頂點的距離相等．

　　3．

　　方法方面：

　　1．用尺規作三角形的外接圓的方法。

　　2．重點詞語的區別：“內接”“外接”。

　　三、布置作業

　　1．教材P68中7、8、9。

　　2．補充作業：已知一個破損的輪胎，要求在原輪胎的基礎上補一個完整的輪胎。

　　四、板書設計

一元二次方程的解法教案5

　　復習目標：

　　1、能說出一元二次方程及其相關概念。

　　2、能熟練應用配方法、公式法、分解因式法解簡單的一元二次方程，并在解一元二次方程的過程中體會轉化等數學思想。

　　復習重難點：一元二次方程的解法

　　教學過程

　　一、情景導入

　　前面我們復習了一元一次方程與二元一次方程組的解法，大家掌握得很不錯，請同學解方程x(x-1)=1,（學生略作思考后，示意不會做）忘了吧？看來好多學生都已經忘了如何解一元二次方程呢？那么這節課我們就一起來復習一元二次方程的.解法（板書課題）

　　二、復習指導（學生按照復習提綱解決問題，師做簡單的板書準備后，巡視指導，特別要注意幫助有困難的同學，了解學生的情況，為展示歸納做準備。）

　　復習提綱

　　1．－元二次方程的定義：只含有_______叫做一元二次方程。

　　2．一元二次方程的一般形式是________（a_______0），其中ax2叫做_______項，a是_______，bx叫做_______，b是_______，c叫做_______項。

　　3．一元二次方程的解法：

　　(1)用直接開平方法解方程（2x+1）2=9

　　形如x2＝p(p≥0)的方程的根為________。

　　(2)用配方法解方程x2+2x=3

　　用配方法解方程步驟：，，，。

　　(3)用求根公式法解方程x2-3x-5＝0 ，x2-3x+5＝0。

　　一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判別式△＝________，根x= 。

　　(1)當△>0時，方程有兩個_______的實數根。

　　(2)當△＝0時，方程有兩個_______的實數根。

　　(3)當△<0時，_______。

　　三、展示歸納

　　1、教師抽有困難的學生逐題匯報復習結果，學生說教師板書。

　　2、教師發動全班學生進行評價，補充，完善。

　　3、教師畫龍點睛的強調。

　　四、變式練習（1、2、4題讓學生說出理由，3題讓學生觀察方程的特點可發現：(1)可用直接開平方法；(2)用配方法或公式法；(3)可用公式法；(4)方程都有共同的因式(x－3)，故可用因式分解法。）

　　1、判斷下列哪些方程是一元二次方程？

　　（1）4x2－16x+15=0 （2） 2x2－3＝0 （3）ax2＋bx＋c＝0

　　2、請將方程(x＋1)(2－x)=1化為一般形式_______。

　　3、解下列方程：

　　(1) (x－3)2－9＝0； (2) x2－2x＝5；

　　(3) x2－4x＋2＝0； (4) 2（x－3）＝3x（x－3)。

　　4、不解方程，判斷下列方程根的情況。

　　（1）2x2－5x－3＝0 （2）x2+6x+9＝0 （3）x2－4x+5＝0

　　五、課堂總結

　　請談談本節課的收獲與困惑。（學生自主小結歸納，將本章知識內化為自己的東西，并提高歸納小結的能力。）

　　六、布置作業

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