[優(yōu)秀]一元二次方程教案15篇
作為一位優(yōu)秀的人民教師，常常需要準(zhǔn)備教案，編寫教案助于積累教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，不斷提高教學(xué)質(zhì)量。那么寫教案需要注意哪些問題呢？下面是小編為大家整理的一元二次方程教案，希望對大家有所幫助。
![[優(yōu)秀]一元二次方程教案15篇](/pic/00/bdccb0b85_2.jpg)
一元二次方程教案1
一、復(fù)習(xí)目標(biāo)：
1、能說出一元二次方程及其相關(guān)概念，；
2、能熟練應(yīng)用配方法、公式法、分解因式法解簡單的一元二次方程，并在解一元二次方程的過程中體會轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想。
3、能靈活應(yīng)用一元二次方程的知識解決相關(guān)問題，能根據(jù)具體問題的實(shí)際意義檢驗(yàn)結(jié)果的合理性，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的意識和能力。
二、復(fù)習(xí)重難點(diǎn)：
重點(diǎn)：一元二次方程的解法和應(yīng)用.
難點(diǎn)：應(yīng)用一元二次方程解決實(shí)際問題的方法.
三、知識回顧:
1、一元二次方程的定義：
2、一元二次方程的常用解法有：
配方法的一般過程是怎樣的？
3、一元二次方程在生活中有哪些應(yīng)用？請舉例說明。
4、利用方程解決實(shí)際問題的關(guān)鍵是。
在解決實(shí)際問題的過程中，怎樣判斷求得的結(jié)果是否合理？請舉例說明。
四、例題解析：
例1、填空
1、當(dāng)m時，關(guān)于x的方程(m－1)+5+mx=0是一元二次方程.
2、方程(m2－1)x2+(m－1)x+1=0，當(dāng)m時，是一元二次方程；當(dāng)m時，是一元一次方程.
3、將一元二次方程x2-2x-2=0化成(x+a)2=b的形式是；此方程的.根是.
4、用配方法解方程x2+8x+9=0時，應(yīng)將方程變形為()
A.(x+4)2=7B.(x+4)2=－9
C.(x+4)2=25D.(x+4)2=－7
學(xué)習(xí)內(nèi)容學(xué)習(xí)隨記
例2、解下列一元二次方程
(1)4x2－16x+15=0(用配方法解)(2)9－x2=2x2－6x(用分解因式法解)
(3)(x＋1)(2－x)=1(選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń?
例3、1、新竹文具店以16元/支的價格購進(jìn)一批鋼筆，根據(jù)市場調(diào)查，如果以20元/支的價格銷售，每月可以售出200支；而這種鋼筆的售價每上漲1元就少賣10支.現(xiàn)在商店店主希望銷售該種鋼筆月利潤為1350元，則該種鋼筆該如何漲價？此時店主該進(jìn)貨多少？
2、如圖，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=6m，BC=8m，點(diǎn)P、Q同時由A、B兩點(diǎn)出發(fā)分別沿AC，BC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動，它們的速度都是1m/s，幾秒后△PCQ的面積為Rt△ACB面積的一半？
一元二次方程教案2
教材分析
一元二次方程是一種數(shù)學(xué)建模的方法，它有著廣泛的實(shí)際背景，可以作為許多實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型。它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想，學(xué)好一元二次方程是學(xué)好二次函數(shù)不可或缺的，一元二次方程是高中數(shù)學(xué)的奠基工程。是本書的重點(diǎn)內(nèi)容，為后續(xù)學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)。
學(xué)情分析
1、 經(jīng)過兩年的合作，我們班的學(xué)生已比較配合我上課，同時初三學(xué)生觀察、類比、概括、歸納能力也都比較強(qiáng)，不過對應(yīng)用題的分析他們還是覺得很頭疼，在今后應(yīng)用題的教學(xué)中需進(jìn)一步加強(qiáng)。
2、 一元二次方程是在學(xué)習(xí)《一元一次方程》、《二元一次方程》、分式方程等基礎(chǔ)之上學(xué)習(xí)的，一元二次方程是一次方程向二次方程的轉(zhuǎn)化，是低次方程轉(zhuǎn)向高次方程求解方法的階梯。一元二次方程又是二次函數(shù)的特例。
教學(xué)目標(biāo)
一、知識目標(biāo)
1、在分析、揭示實(shí)際問題的數(shù)量關(guān)系并把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型（一元二次方程）的過程中，使學(xué)生感受方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的.工具，，增加對一元二次方程的感性認(rèn)識.
2、理解一元二次方程的概念.
3、掌握一元二次方程的一般形式，正確認(rèn)識二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng).
二、能力目標(biāo)
1、通過一元二次方程的引入，培養(yǎng)學(xué)生建模思想，歸納、分析問題及解決問題的能力.
2、由知識來源于實(shí)際，樹立轉(zhuǎn)化的思想，由設(shè)未知數(shù)、列方程向?qū)W生滲透方程的思想，進(jìn)一步提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力.
四、情感目標(biāo)
1、培養(yǎng)學(xué)生主動探究知識、自主學(xué)習(xí)和合作交流的意識.
2、激發(fā)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)的興趣，體會學(xué)數(shù)學(xué)的快樂，培養(yǎng)用數(shù)學(xué)的意識
教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)
教學(xué)重點(diǎn): 一元二次方程的概念和它的一般形式
難點(diǎn):1、從實(shí)際問題中抽象出一元二次方程。2、正確識別一般式中的“項(xiàng)”及“系數(shù)”
一元二次方程教案3
一、教學(xué)目標(biāo)
（一）知識目標(biāo)
1、理解求解一元二次方程的實(shí)質(zhì)。
2、掌握解一元二次方程的配方法。
（二）能力目標(biāo)
1、體會數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想。
2、能根據(jù)配方法解一元二次方程的一般步驟解一元二次方程。
（三）情感態(tài)度及價值觀
通過用配方法將一元二次方程變形的過程，讓學(xué)生進(jìn)一步體會轉(zhuǎn)化的思想方法，并增強(qiáng)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。
二、教學(xué)重點(diǎn)
配方法解一元二次方程的一般步驟
三、教學(xué)難點(diǎn)
具體用配方法的一般步驟解一元二次方程。
四、知識考點(diǎn)
運(yùn)用配方法解一元二次方程。
五、教學(xué)過程
（一）復(fù)習(xí)引入
1、復(fù)習(xí)：
解一元一次方程的一般步驟：
（1）去分母；
（2）去括號；
（3）移項(xiàng)；
（4）合并同類項(xiàng)；
（5）系數(shù)化為1。
2、引入：
二次根式的意義：若x2=a (a為非負(fù)數(shù)），則x叫做a的平方根，即x=±√a 。實(shí)際上，x2 =a（a為非負(fù)數(shù))就是關(guān)于x的一元二次方程，求x的平方根就是解一元二次方程。
（二）新課探究
通過實(shí)際問題的解答，引出我們所要學(xué)習(xí)的知識點(diǎn)。通過問題吸引學(xué)生的注意力，引發(fā)學(xué)生思考。
問題1：
一桶某種油漆可刷的面積為1500dm李林用這桶油漆剛好刷完10個同樣的正方體形狀的.盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱長嗎？
問題1重在引出用直接開平方法解一元二次方程。這一問題學(xué)生可通過“平方根的意義”的講解過程具體的解答出來，具體解題步驟：2解：設(shè)正方體的棱長為x dm，則一個正方體的表面積為6xdm
列出方程：60x2=1500
x2=25
x=±5
因?yàn)閤為棱長不能為負(fù)值，所以x=5
即：正方體的棱長為5dm。
1、用直接開平方法解一元二次方程
（1）定義：運(yùn)用平方根的定義直接開方求出一元二次方程解。
（2）備注：用直接開平方法解一元二次方程，實(shí)質(zhì)是把一個一元二次方程“降次”，轉(zhuǎn)化為兩個一元二次方程來求方程的根。
問題2：
要使一塊矩形場地的長比寬多6cm，并且面積為16O，場地的長和寬應(yīng)各為多少？
問題2重在引出用配方法解一元二次方程。而問題2應(yīng)該大部分同學(xué)都不會，所以由我來具體的講解。主要通過與完全平方式對比逐步解這個方程。再由這個方程的求解過程師生共同總結(jié)出配方法解一元二次方程的一般步驟。讓學(xué)生加深映像。
具體解題步驟：
解：設(shè)場地寬x m，長（x +6）m。
列方程：x（x +6）=16
即：x2+6x-16=0
x2+6x=16
x2+6x+9=16+9
（x+3）2=25
x+3=±5
x+3=5x+3=-5
x1=2，x2=-8
2、配方法解一元二次方程
（1）定義：通過配成完全平方的形式來解一元二次方程的方法。
（2）配方法解一元二次方程一般步驟：
一化：先將常數(shù)移到方程右邊，后將二次項(xiàng)系數(shù)化為1
二配：方程左右兩端都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方
三成式：將方程左邊化為一個含有未知數(shù)的完全平方式
四開：直接開平方
五寫：寫出方程的解
（三）應(yīng)用舉例
針對每個知識點(diǎn)各舉了一個例子，每個例子有兩個方程，逐漸加深。讓學(xué)生更易接受。讓學(xué)生在例題中進(jìn)行思考和總結(jié)。具體的例1鏈接知識點(diǎn)1，例2鏈接知識點(diǎn)2。
例1解方程
（1）9x2-1=0；
（2）x2+2x+1=16。
解：（1）原方程變形為：9x2=1
x2=1/9
x=±1/3
即x1=1/3，x2=-1/3
（2）原方程變形為：（x+1）=16
x+1=±4
x1=3，x2=-5
2例1講解完之后，我會讓學(xué)生思考：形如（ax +b) =c（a≠0；cR0）的一元二次方程的解。讓學(xué)生能夠從特殊的到一般的題目。
例2用配方法解下列方程：
（1）x2-3x-2=0（2）2x2-3x-6=0
解：（1）移項(xiàng)x2-3x=2
配方x2-3x+（3/2）2=2+（3/2）2
（x-3/2）2=17/4
x-3/2=±√17/2
x1= 3/2+√17/2，x2=3/2-√17/2
(2)將二次項(xiàng)系數(shù)化為1
x2-3/2x-3=0
x2-3/2x=3
x2-3/2x+（3/4）2=3+（3/4）2
（x-3/4）2=57/16
x-3/4=±√57/4
x1= 3/4+√57/4，x2=3/4-√57/4
（四）反饋練習(xí)
了解學(xué)生知識的掌握程度，即時發(fā)現(xiàn)問題。而這道題目重在學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)錯誤，加深配方法解一元二次方程的一般步驟。從而突破這一重難點(diǎn)。練習(xí)：
觀察下列用配方法解方程2x2-4x+1=0的兩種解答是否正確，若不正確請你寫出正確的解答。
解:（1）配方2x2-4x+4-4=1，即（2x-2）2=5
所以，2x-2= √5或2x-2= -√5
所以，x1= 1+ √5 /2，x2=1- √5 /2
（2）系數(shù)化為1 x2-2x=1/2
配方x2-2x+1=1/2即（x-1）2=1/2
所以x-1=√2 /2或x-1=-√2 /2
所以x1= 1+ √2 /2，x2=1- √2/2。
六、課堂小結(jié)
對本堂課的內(nèi)容進(jìn)行鞏固和反思。主要由學(xué)生歸納，老師補(bǔ)充總結(jié)。
小結(jié)：1、本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了用配方法解一元二次方程，其中運(yùn)用到了解一元一次方程，二次根式等方面的知識。
2、重點(diǎn)理解和掌握配方法解一元二次方程一般步驟并會運(yùn)用配方法解一元二次方程。
七、布置作業(yè)
對本堂課的知識進(jìn)行鞏固和提高。根據(jù)新課程標(biāo)準(zhǔn)“人人學(xué)習(xí)不同的數(shù)學(xué)”的理念，把作業(yè)分為必做題和選作題，給學(xué)生更大的空間。
一元二次方程教案4
（一）教學(xué)目標(biāo)：
（1）讓學(xué)生初步理解“方程的解”、“解方程”的含義以及“方程的解”和“解方程”之間的聯(lián)系和區(qū)別。
（2）初步理解等式的基本性質(zhì)，能用等式的性質(zhì)解簡易方程。
（3）關(guān)注由具體到一般的抽象概括過程，培養(yǎng)學(xué)生初步的代數(shù)思想。
（4）重視良好書寫習(xí)慣的培養(yǎng)。培養(yǎng)學(xué)生自覺檢驗(yàn)的習(xí)慣。
（二）教學(xué)重、難點(diǎn)：
利用天平平衡的道理理解比較簡單的方程的方法。
（三）教學(xué)過程：
一、演示操作，提出目標(biāo)
師：（天平演示）老師在天平的左邊放了一杯水，杯重100克，水重X克，一杯水重多少？（100+X）克
師：在天平的右邊放了多少砝碼，天平保持平衡呢？（教師邊講邊操作100克、200克、250克）
師：請你根據(jù)圖意列一個方程。100+X=250
師：這個方程怎么解呢？有什么問題我們要研究呢？
（1）運(yùn)用等式性質(zhì)把X等于多少求出來。
（2）“解方程”和“方程的解”有什么區(qū)別。
[設(shè)計(jì)意圖：從復(fù)習(xí)天平保持平衡的道理入手，引出學(xué)習(xí)目標(biāo)，引導(dǎo)學(xué)習(xí)質(zhì)疑，有利于激發(fā)學(xué)生主動探究、深入學(xué)習(xí)的積極性。]
二展示成果，理解歸納
（一）小組內(nèi)個人展示
1．學(xué)生自學(xué)課本例1、例2，并完成“做一做”。（教師深入指導(dǎo)，收集信息）
2．小組內(nèi)互相交流、講評。
學(xué)生：（1）:可以用250－100=150,所以X=150.
學(xué)生；（2）:因?yàn)?00+150=250,所以X=150
學(xué)生：（3）:我是這樣想的，假如方程的兩邊同時減去100,就能得出X=150
學(xué)生演示：我在天平的左邊拿走一個重100克空杯子，在天平的右邊拿走100克的砝碼，天平保持平衡。為：100+X－100=250－100就可以求出未知數(shù)X的值是多少？X=150
師：是的，同學(xué)們的想法是正確的，方程左右兩邊同時減100，就能得出X=150。
師：根據(jù)剛才的實(shí)驗(yàn)，我們來認(rèn)識兩個新的概念———“方程的解”和“解方程”。
師:指著方程100+X=250說：“X=150是這個方程的解。
100+X=250100+X－100=250－100
指著方框說：這是求方程的解的過程，叫解方程。
（二）全班展示（以小組為單位進(jìn)行）
1、算法展示
A:X+3=9B:3X=18
解：X+3-3=9-3解：3X3=183
X=6X=6
C、方程的檢驗(yàn)方法。
[設(shè)計(jì)的意圖：自學(xué)思考匯報交流既有利于每個學(xué)生的自主探索，保證個性發(fā)展，也有利于教師考察學(xué)生思維的合理性和靈活性，考察學(xué)生是否能用清晰的數(shù)學(xué)語言表達(dá)自己的觀點(diǎn)。]
2、對學(xué)生在自主學(xué)習(xí)中的出現(xiàn)的錯例展示。如：書寫格式等。
三、激發(fā)沖突，驗(yàn)算結(jié)果（把這個環(huán)節(jié)融入學(xué)生展示中）
師：你發(fā)現(xiàn)“方程的解”和“解方程”有什么不同嗎？
師：在解方程的過程要注意什么？
師：這個方程會解。我們怎么知道X=6一定是以上X+3=9和3X=18方程的解呢？
師：怎樣驗(yàn)算？讓學(xué)生說出過程。（分別說出以上兩方程的.驗(yàn)算過程。）
師：以后解方程時，要求檢驗(yàn)的，要寫出檢驗(yàn)過程；沒有要求檢驗(yàn)的，要進(jìn)行口頭檢驗(yàn)，要養(yǎng)成口頭檢驗(yàn)的習(xí)慣。力求計(jì)算準(zhǔn)確。
[設(shè)計(jì)的意圖：自學(xué)思考匯報交流既有利于每個學(xué)生的自主探索，保證個性發(fā)展，也有利于教師考察學(xué)生思維的合理性和靈活性，考察學(xué)生是否能用清晰的數(shù)學(xué)語言表達(dá)自己的觀點(diǎn)。]
四拓展知識外延
1判斷題
X=3是方程5X=15的解。（）
X=2是方程5X=15的解。（）
2考考你的眼力，能否幫他找到錯誤所在呢？
X+1.2=4X+2.4=4.6
X+1.2-1.2=4-1.2=4.6-2.4
X=2.8=2.2
3填空題
X+3.2=4.6
X+3.2（）=4.6（）
X=（）
4將課本59頁做一做的第1題的左邊一小題寫在單行紙上。
一元二次方程教案5
一、教學(xué)目標(biāo)
1.使學(xué)生掌握可化為一元二次方程的分式方程的解法，能用去分母的方法或換元的方法求此類方程的解，并會驗(yàn)根.
2.通過本節(jié)課的教學(xué)，向?qū)W生滲透轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法;
3.通過本節(jié)的教學(xué)，繼續(xù)向?qū)W生滲透事物是相互聯(lián)系及相互轉(zhuǎn)化的辨證唯物主義觀點(diǎn).
二、重點(diǎn)難點(diǎn)疑點(diǎn)及解決辦法
1.教學(xué)重點(diǎn)：可化為一元二次方程的分式方程的解法.
2.教學(xué)難點(diǎn)：解分式方程，學(xué)生不容易理解為什么必須進(jìn)行檢驗(yàn).
3.教學(xué)疑點(diǎn)：學(xué)生容易忽視對分式方程的解進(jìn)行檢驗(yàn)通過對分式方程的解的剖析，進(jìn)一步使學(xué)生認(rèn)識解分式方程必須進(jìn)行檢驗(yàn)的重要性.
4.解決辦法：(l)分式方程的解法順序是：先特殊、后一般，即能用換元法的方程應(yīng)盡量用換元法解.(2)無論用去分母法解，還是換元法解分式方程，都必須進(jìn)行驗(yàn)根，驗(yàn)根是解分式方程必不可少的一個重要步驟.(3)方程的增根具備兩個特點(diǎn)，①它是由分式方程所轉(zhuǎn)化成的整式方程的根②它能使原分式方程的公分母為0.
三、教學(xué)步驟
(一)教學(xué)過程
1.復(fù)習(xí)提問
(1)什么叫做分式方程?解可化為一元一次方程的分式方程的方法與步驟是什么?
(2)解可化為一元一次方程的分式方程為什么要檢驗(yàn)?檢驗(yàn)的方法是什么?
(3)解方程，并由此方程說明解方程過程中產(chǎn)生增根的原因.
通過(1)、(2)、(3)的準(zhǔn)備，可直接點(diǎn)出本節(jié)的內(nèi)容：可化為一元二次方程的分式方程的解法相同.
在教師點(diǎn)出本節(jié)內(nèi)容的處理方法與以前所學(xué)的知識完全類同后，讓全體學(xué)生對照前面復(fù)習(xí)過的分式方程的解，來進(jìn)一步加深對類比法的理解，以便學(xué)生全面地參與到教學(xué)活動中去，全面提高教學(xué)質(zhì)量.
在前面的基礎(chǔ)上，為了加深學(xué)生對新知識的理解，教師與學(xué)生共同分析解決例題，以提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力.
2.例題講解
例1 解方程.
分析 對于此方程的解法，不是教師講如何如何解，而是讓學(xué)生對已有知識的回憶，使用原來的方法，去通過試的手段來解決，在學(xué)生敘述過程中，發(fā)現(xiàn)問題并及時糾正.
解：兩邊都乘以，得
去括號，得
整理，得
解這個方程，得
檢驗(yàn)：把代入，所以是原方程的根.
原方程的根是.
雖然，此種類型的方程在初二上學(xué)期已學(xué)習(xí)過，但由于相隔時間比較長，所以有一些學(xué)
生容易犯的類型錯誤應(yīng)加以強(qiáng)調(diào)，如在第一步中.需強(qiáng)調(diào)方程兩邊同時乘以最簡公分母.另
外，在把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程后，所得的一元二次方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，由于是解
分式方程，所以在下結(jié)論時，應(yīng)強(qiáng)調(diào)取一即可，這一點(diǎn)，教師應(yīng)給以強(qiáng)調(diào).
例2 解方程
分析：解此方程的關(guān)鍵是如何將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，而轉(zhuǎn)化為整式方程的關(guān)鍵是
正確地確定出方程中各分母的最簡公分母，由于此方程中的分母并非均按的降冪排列，所
以將方程的`分母作一轉(zhuǎn)化，化為按字母終X進(jìn)行降暴排列，并對可進(jìn)行分解的分母進(jìn)行分解，從而確定出最簡公分母.
解：方程兩邊都乘以，約去分母，得
整理后，得
解這個方程，得
檢驗(yàn)：把代入，它不等于0，所以是原方程的根，把
代入它等于0，所以是增根.
原方程的根是
師生共同解決例1、例2后，教師引導(dǎo)學(xué)生與已學(xué)過的知識進(jìn)行比較.
例3 解方程.
分析：此題也可像前面例l、例2一樣通過去分母解決，學(xué)生可以試，但由于轉(zhuǎn)化后為一元四次方程，解起來難度很大，因此應(yīng)尋求簡便方式，通過引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)觀察發(fā)現(xiàn)，方程中含有未知數(shù)的部分 和互為倒數(shù)，由此可設(shè) ，則可通過換元法來解題，通過求出
y后，再求原方程的未知數(shù)的值.
解：設(shè)，那么，于是原方程變形為
兩邊都乘以y，得
解得
當(dāng)時，，去分母，得
解得;
當(dāng)時，，去分母整理，得
檢驗(yàn)：把分別代入原方程的分母，各分母均不等于0.
原方程的根是
此題在解題過程中，經(jīng)過兩次轉(zhuǎn)化，所以在檢驗(yàn)中，把所得的未知數(shù)的值代入原方程中的分母進(jìn)行檢驗(yàn).
鞏固練習(xí)：教材P49中1、2引導(dǎo)學(xué)筆答.
(二)總結(jié)、擴(kuò)展
對于小結(jié)，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生做出.
本節(jié)內(nèi)容的小結(jié)應(yīng)從所學(xué)習(xí)的知識內(nèi)容、所學(xué)知識采用了什么數(shù)學(xué)思想及教學(xué)方法兩方面進(jìn)行.
本節(jié)我們通過類比的方法，在已有的解可化為一元一次方程的分式方程的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)了可化為一元二次方程的分式方程的解法，在具體方程的解法上，適用了轉(zhuǎn)化與換元的基本數(shù)學(xué)思想與基本數(shù)學(xué)方法.
此小結(jié)的目的，使學(xué)生能利用類比的方法，使學(xué)過的知識系統(tǒng)化、網(wǎng)絡(luò)化，形成認(rèn)知結(jié)構(gòu)，便于學(xué)生掌握.
四、布置作業(yè)
1.教材P50中A1、2、3.
2.教材P51中B1、2
五、板書設(shè)計(jì)
探究活動1
解方程：
分析：若去分母，則會變?yōu)楦叽畏匠蹋@樣解起來，比較繁，注意到分母中都有，可用換元法降次
設(shè)，則原方程變?yōu)?/p>
或無解
經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的解
探究活動2
有農(nóng)藥一桶，倒出8升后，用水補(bǔ)滿，然后又倒出4升，再用水補(bǔ)滿，此時農(nóng)藥與水的比為18：7，求桶的容積.
解：設(shè)桶的容積為 升，第一次用水補(bǔ)滿后，濃度為 ，第二次倒出的農(nóng)藥數(shù)為4. 升，兩次共倒出的農(nóng)藥總量(8+4 )占原來農(nóng)藥 ，故
整理，
(舍去)
答：桶的容積為40升.
一元二次方程教案6
教學(xué)目標(biāo)[
知識與技能：會用加減消元法解二元一次方程組.
過程與方法：讓學(xué)生在自主探索和合作交流中，進(jìn)一步理解二元一次方程組的“消元”思想，初步體會數(shù)學(xué)研究中“化未知為已知”的化歸思想.通過對具體的二元一次方程組的觀察、分析，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ń舛淮畏匠探M，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、分析能力.
情感態(tài)度與價值觀：通過學(xué)生比較兩種解法的差別與聯(lián)系，體會透過現(xiàn)象抓住事物的本質(zhì)這一認(rèn)識方法.
教學(xué)重點(diǎn)
用加減消元法解二元一次方程組.
教學(xué)難點(diǎn)
在解題過程中進(jìn)一步體會“消元”思想和“化未知為已知”的化歸思想.
教學(xué)準(zhǔn)備：多媒體課件
教學(xué)過程
第一環(huán)節(jié)：情境引入（10分鐘，學(xué)生在練習(xí)本上做，教師巡視、引導(dǎo)、解疑，注意發(fā)現(xiàn)學(xué)生在解答過程中出現(xiàn)的新的想法，可以讓用不同方法解題的學(xué)生將他們的方法板演在黑板上，完后進(jìn)行評析，并為加減消元法的出現(xiàn)鋪路.）
內(nèi)容：鞏固練習(xí)，在練習(xí)中發(fā)現(xiàn)新的解決方法
怎樣解下面的二元一次方程組呢？
學(xué)生可能的解答方案1：
解1：把②變形，得：,③
把③代入①，得：,解得：.
把代入②，得：.
所以方程組的解為.
學(xué)生可能的解答方案2：
解2：由②得,③
把當(dāng)做整體將③代入①，得：,解得：.
把代入③，得：.
所以方程組的解為.
（此種解法體現(xiàn)了整體的思想）
學(xué)生可能的解答方案3：
解3：根據(jù)等式的基本性質(zhì)
方程①+方程②得：,解得：,把代入①，解得：,所以方程組的解為.
通過上面的練習(xí)發(fā)現(xiàn)，同學(xué)們對代入消元法都掌握得很好了，基本上都能夠按要求解出二元一次方程組的解（如方案1），可是也有同學(xué)發(fā)現(xiàn)（方案2）的解法比（方案1）的解法簡單，他是將5y作為一個整體代入消元，依然體現(xiàn)了代入法的核心是代入“消元”，通過“消元”，使“二元”轉(zhuǎn)化為“一元”，從而使問題得以解決，那么（方案3）的解法又如何？它達(dá)到“消元”的目的了嗎?
（留些時間給學(xué)生觀察，注意引導(dǎo)學(xué)生觀察方程中某一未知數(shù)的系數(shù)，如x的系數(shù)或y的系數(shù)）
引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)方程①和②中的5y和－5y互為相反數(shù)，根據(jù)相反數(shù)的和為零（方案3）將方程①和②的左右兩邊相加，然后根據(jù)等式的'基本性質(zhì)消去了未知數(shù)y，得到了一個關(guān)于x的一元一次方程，從而實(shí)現(xiàn)了化“二元”為“一元”的目的
這就是我們這節(jié)課要學(xué)習(xí)的二元一次方程組的解法中的第二種方法——加減消元法.
第二環(huán)節(jié)：講授新知（15分鐘，教師講解演示，學(xué)生理解識記）
內(nèi)容1：
（教師板書課題）
下面我們就用剛才的方法解下面的二元一次方程組.（教師規(guī)范表達(dá)解答過程，為學(xué)生作出示范）
例解下列二元一次方程組
分析：觀察到方程①、②中未知數(shù)x的系數(shù)相等，可以利用兩個方程相減消去未知數(shù)x.
解：②-①，得：,解得：,把代入①，得：,解得：,所以方程組的解為.
(解答完本題后，口算檢驗(yàn)，讓學(xué)生養(yǎng)成進(jìn)行檢驗(yàn)的習(xí)慣，同時教師需強(qiáng)調(diào)以下兩點(diǎn)
(1)注意解此題的易錯點(diǎn)是②-①時是（2x+3y）-(2x-5y)=-1-7，方程左邊去括號時注意符號.另外解題時，①-②或②-①都可以消去未知數(shù)x，不過在①-②得到的方程中，y的系數(shù)是負(fù)數(shù)，所以在上面的解法中選擇②-①；
(2)把y＝-1代入①或②，最后結(jié)果是一樣的，但我們通常的作法是將所求出的一個未知數(shù)的值代入系數(shù)較簡單的方程中求出另一個未知數(shù)的值.
師生一起分析上面的解答過程，歸納出下面的一些規(guī)律：
在方程組的兩個方程中，若某個未知數(shù)的系數(shù)是相反數(shù)，則可直接把這兩個方程的兩邊分別相加，消去這個未知數(shù)；若某個未知數(shù)的系數(shù)相等，可直接把這兩個方程的兩邊分別相減，消去這個未知數(shù)得到一個一元一次方程，從而求出它的解，這種解二元一次方程組的方法叫做加減消元法，簡稱加減法）
內(nèi)容2：鞏固練習(xí)
［師生共析］
（先留一定的時間讓學(xué)生觀察此方程組，讓學(xué)生說明自己觀察到方程有什么特點(diǎn)，能不能自己解決此方程組，用什么方法解決？如學(xué)生提出用代入消元法，可以讓學(xué)生先按此法完成，然后再問能不能用剛學(xué)過的加減消元法解決？讓學(xué)生討論嘗試，學(xué)生可能得到的結(jié)論如下）
1.對于用加減消元法解，x、y的系數(shù)既不相同也不是相反數(shù)，沒有辦法用加減消元法.
2.是不是可以這樣想，將方程組中的方程用等式的基本性質(zhì)將這個方程組中的x或y的系數(shù)化成相等(或互為相反數(shù))的情形，再用加減消元法，達(dá)到消元的目的
3.只要在方程①和方程②的兩邊分別除以2和3，x的系數(shù)不就變成“1”了嗎？這樣就可以用加減消元法了.
4.不同意3的做法.如果這樣做，是可以解決這一問題，但y的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)都變成了分?jǐn)?shù)，這樣解是不是變麻煩了嗎？那還不如用代入消元法了.不如找x的系數(shù)2和3的最小公倍數(shù)6，在方程①兩邊同乘以3，得③,在方程②兩邊同乘以2，得④,然后③-④，就可以將x消去，得,把代入①得，.所以方程組的解為
（在引導(dǎo)的過程中，肯定學(xué)生的好的想法.）其實(shí)在我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，二元一次方程組中未知數(shù)的系數(shù)不一定剛好是1或-1，或同一個未知數(shù)的系數(shù)剛好相同或相反.我們遇到的往往就是這樣的方程組，我們要想比較簡捷地把它解出來，就需要轉(zhuǎn)化為同一個未知數(shù)系數(shù)相同或相反的情形，從而用加減消元法，達(dá)到消元的目的請大家把解答過程寫出來.
解：①×3，得：，③
②×2,得：，④
③－④，得：.
將代入①，得：.
所以原方程組的解是.
內(nèi)容3：議一議
根據(jù)上面幾個方程組的解法，請同學(xué)們思考下面兩個問題：
(1)加減消元法解二元一次方程組的基本思路是什么？
(2)用加減消元法解二元一次方程組的主要步驟有哪些？
(由學(xué)生分組討論、總結(jié)并請學(xué)生代表發(fā)言)
［師生共析］
(1)用加減消元法解二元一次方程組的基本思路仍然是“消元”.
(2)用加減法解二元一次方程組的一般步驟是：
①變形----找出兩個方程中同一個未知數(shù)系數(shù)的絕對值的最小公倍數(shù)，然后分別在兩個方程的兩邊乘以適當(dāng)?shù)臄?shù)，使所找的未知數(shù)的系數(shù)相等或互為相反數(shù)．
②加減消元，得到一個一元一次方程.
③解一元一次方程．
④把求出的未知數(shù)的解代入原方程組中的任一方程，求出另一個未知數(shù)的值，從而得方程組的解．
注意：對于較復(fù)雜的二元一次方程組，應(yīng)先化簡(去分母，去括號，合并同類項(xiàng)等).通常要把每個方程整理成含未知數(shù)的項(xiàng)在方程的左邊，常數(shù)項(xiàng)在方程右邊的形式，再作如上加減消元的考慮.
第三環(huán)節(jié)：鞏固新知(10分鐘，學(xué)生獨(dú)立解決，全班交流)
內(nèi)容：
⑴回憶上一節(jié)的練習(xí)和習(xí)題，看哪些題用代入消元法解起來比較簡單？哪些題我們用加減消元法簡單？我們分組討論，并派一個代表闡述自己的意見，試說明兩種解方程組的方法的共同特點(diǎn)和各自的優(yōu)勢.
1.關(guān)于二元一次方程組的兩種解法：代入消元法和加減消元法，通過比較，我們發(fā)現(xiàn)其實(shí)質(zhì)都是消元，即通過消去一個未知數(shù)，化“二元”為“一元”.
2.只有當(dāng)方程組的某一方程中某一未知數(shù)的系數(shù)的絕對值是1時，用代入消元法較簡單，其他的用加減消元法較簡單.
⑵完成課本隨堂練習(xí)
⑶補(bǔ)充練習(xí)：
①選擇：二元一次方程組的解是（）.
A.B.C.D.
②，求x,y的值.
第四環(huán)節(jié)：課堂小結(jié)（5分鐘，教師引導(dǎo)學(xué)生建立知識框架）
內(nèi)容：
1.關(guān)于二元一次方程組的兩種解法：代入消元法和加減消元法.比較這兩種解法我們發(fā)現(xiàn)其實(shí)質(zhì)都是消元，即通過消去一個未知數(shù)，化“二元”為“一元”.
2.用加減消元法解方程組的條件：某一未知數(shù)的系數(shù)的絕對值相等．
3.用加減法解二元一次方程組的步驟：
①變形，使某個未知數(shù)的系數(shù)絕對值相等．
②加減消元．
③解一元一次方程．
④求另一個未知數(shù)的值，得方程組的解．
第五環(huán)節(jié)：布置作業(yè)
習(xí)題7.3
A組（優(yōu)等生）1、3、4
B組（中等生）1、3
C組（后三分之一生）1
教學(xué)反思
相關(guān)知識
解二元一次方程組2
第七章二元一次方程組
一元二次方程教案7
【知識與技能】
1.理解一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過程，了解公式法的概念.
2.會熟練應(yīng)用公式法解一元二次方程.
【過程與方法】
通過復(fù)習(xí)配方法解一元二次方程，引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)出求根公式，使學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識特殊與一般的關(guān)系.
【情感態(tài)度】
經(jīng)歷探索求根公式的過程，培養(yǎng)學(xué)生抽象思維能力，滲透辯證唯物主義觀點(diǎn).
【教學(xué)重點(diǎn)】
求根公式的推導(dǎo)和公式法的應(yīng)用.
【教學(xué)難點(diǎn)】
一元二次方程求根公式的推導(dǎo).
一、情境導(dǎo)入，初步認(rèn)識
用配方法解方程：（1）x2+3x+2=0 （2）2x2-3x+5=0
解：（1）x1=-1,x2=-2 （2）無解
二、思考探究，獲取新知
如果這個一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步驟求出它們的兩根？
問題 已知ax2+bx+c=0（a≠0），試推導(dǎo)它的兩個根
【分析】因?yàn)榍懊婢唧w數(shù)字的題目已做得很多，現(xiàn)在不妨把a(bǔ),b,c也當(dāng)成具體數(shù)字，根據(jù)上面的解題步驟就可以推導(dǎo)下去.
探究 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的.根由方程的系數(shù)a,b,c而定，因此:
（1）解一元二次方程時，可以先將方程化為一般形式ax2+bx+c=0，當(dāng)b2-4ac≥0時，將a,b,c代入式子 就得到方程的根，當(dāng)b2-4ac＜0時,方程沒有實(shí)數(shù)根.
（2） 叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式.
（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.
【教學(xué)說明】教師可以引導(dǎo)學(xué)生利用配方法推出求根公式，體驗(yàn)獲取知識的過程，體會成功的喜悅，可讓學(xué)生小組展示.
例1 用公式法解下列方程：
①2x2-4x-1=0 ②5x+2=3x2
③（x-2）（3x-5）=0 ④4x2-3x+1=0
解：①x1=1+ ,x2=1-
②x1=2,x2=-
③x1=2,x2=
④無解
【教學(xué)說明】（1）對②、③要先化成一般形式；（2）強(qiáng)調(diào)確定a,b,c的值，注意它們的符號；（3）先計(jì)算b2-4ac的值，再代入公式.
三、運(yùn)用新知，深化理解
1.用公式法解下列方程：
（1）x2+x-12=0
（2）x2- x- =0
（3）x2+4x+8=2x+11
（4）x（x-4）=2-8x
（5）x2+2x=0
（6）x2+2 x+10=0
解：（1）x1=3,x2=-4;
（2）x1= ,x2= ；
（3）x1=1,x2=-3;
（4）x1=-2+ ，x2=-2- ；
（5）x1=0,x2=-2;
（6）無解.
【教學(xué)說明】用公式法解方程關(guān)鍵是要先將方程化為一般形式.
四、師生互動，課堂小結(jié)
1.求根公式的概念及其推導(dǎo)過程.
2.公式法的概念.
3.應(yīng)用公式法解一元二次方程.
1.布置作業(yè)：從教材相應(yīng)練習(xí)和“習(xí)題22.2”中選取.
2.完成練習(xí)冊中本課時練習(xí)的“課時作業(yè)”部分.
在學(xué)習(xí)活動中，要求學(xué)生主動參與，認(rèn)真思考，比較觀察，交流與表述，體驗(yàn)知識的獲取的過程，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，利用師生的雙邊活動，適時調(diào)試，從而提高學(xué)習(xí)效率.
一元二次方程教案8
一、教學(xué)目標(biāo)
1.掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系式，能運(yùn)用它由已知一元二次方程的一個根求出另一個根與未知系數(shù);
2.通過根與系數(shù)的教學(xué)，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生分析、觀察、歸納的能力和推理論證的能力;
3.通過本節(jié)課的教學(xué)，向?qū)W生滲透由特殊到一般，再由一般到特殊的認(rèn)識事物的規(guī)律。
教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)：
二、重點(diǎn)難點(diǎn)疑點(diǎn)及解決辦法
1.教學(xué)重點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系及其推導(dǎo)。
2.教學(xué)難點(diǎn) ：正確理解根與系數(shù)的關(guān)系。
3.教學(xué)疑點(diǎn)：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是指一元二次方程兩根的和，兩根的積與系數(shù)的關(guān)系。
4.解決辦法;在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)運(yùn)用韋達(dá)定理，必須注意這個前提條件，而應(yīng)用判別式的前提條件是方程必須是一元二次方程，即二次項(xiàng)系數(shù)，因此，解題時，要根據(jù)題目分析題中有沒有隱含條件和。
三、教學(xué)步驟
(一)教學(xué)過程
1.復(fù)習(xí)提問
(1)寫出一元二次方程的一般式和求根公式。
(2)解方程①，②。
觀察、思考兩根和、兩根積與系數(shù)的關(guān)系。
在教師的引導(dǎo)和點(diǎn)撥下，由沉重得出結(jié)論，教師提問：所有的一元二次方程的兩個根都有這樣的規(guī)律嗎?
2.推導(dǎo)一元二次方程兩根和與兩根積和系數(shù)的'關(guān)系。
設(shè)是方程的兩個根。
由此得出，一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系。(一元二次方程兩根和與兩根積與系數(shù)的關(guān)系)
結(jié)論1.如果的兩個根是，那么。
如果把方程變形為。
我們就可把它寫成的形式，其中。從而得出：略寫
結(jié)論2.如果方程的兩個根是，那么 。
結(jié)論1具有一般形式，結(jié)論2有時給研究問題帶來方便。
練習(xí)1.(口答)下列方程中，兩根的和與兩根的積各是多少?
(1);(2);(3);
(4);(5);(6)
此組練習(xí)的目的是更加熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系。
3.一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用。
(1)驗(yàn)根。(口答)判定下列各方程后面的兩個數(shù)是不是它的兩個根。
①;②;③;
④;⑤。
驗(yàn)根是一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的簡單應(yīng)用，應(yīng)用時要注意三個問題：(1)要先把一元二次方程化成一般形式，(2)不要漏除二次項(xiàng)系數(shù)，(3)還要注意中的負(fù)號。
(2)已知方程一根，求另一根。
例：已知方程的根是2，求它的另一根及k的值。
解法1：設(shè)方程的另一根為，那么。
又 ∵ 。
答：方程的另一根是，k的值是-7。
此題的解法是依據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，設(shè)未知數(shù)列方程達(dá)到目的，還可以向?qū)W生展現(xiàn)下列方法，并且作比較。
方法(二) ∵ 2是方程的根，
原方程可變?yōu)?/p>
解此方程。
方法(三)∵ 2是方程的根，
答：方程的另一根是，k的值是-7。
學(xué)生進(jìn)行比較，方法(二)不如方法(一)和(三)簡單，從而認(rèn)識到根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用價值。
練習(xí)：教材P32中2。
學(xué)習(xí)筆答、板書，評價，體會。
(二)總結(jié)、擴(kuò)展
(12) 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的推導(dǎo)是在求根公式的基礎(chǔ)上進(jìn)行。它深化了兩根的和與積和系數(shù)之間的關(guān)系，是我們今后繼續(xù)研究一元二次方程根的情況的主要工具，必須熟記，為進(jìn)一步使用打下基礎(chǔ)。
2.以一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的探索與推導(dǎo)，向?qū)W生展示認(rèn)識事物的一般規(guī)律，提倡積極思維，勇于探索的精神，借此鍛煉學(xué)生分析、觀察、歸納的能力及推理論證的能力
3.一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，在中考中多以填空，選擇，解答題的形式出現(xiàn)，考查的頻率較高，也常與幾何、二次函數(shù)等問題結(jié)合考查，是考試的熱點(diǎn)，它是方程理論的重要組成部分。
四、布置作業(yè)
教材P32中1 P33中A1。
一元二次方程教案9
教學(xué)設(shè)計(jì)
一 教學(xué)設(shè)計(jì)思路
通過小球飛行高度問題展示二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系。然后進(jìn)一步舉例說明，從而得出二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系。最后通過例題介紹用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的根的方法。
二 教學(xué)目標(biāo)
1 知識與技能
(1).經(jīng)歷探索函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系的過程，體會方程與函數(shù)之間的聯(lián)系。總結(jié)出二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)的個數(shù)與一元二次方程的根的個數(shù)之間的關(guān)系，表述何時方程有兩個不等的實(shí)根、兩個相等的實(shí)數(shù)和沒有實(shí)根.
(2).會利用圖象法求一元二次方程的近似解。
2 過程與方法
經(jīng)歷探索二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系的過程，體會方程與函數(shù)之間的聯(lián)系.
三 情感態(tài)度價值觀
通過觀察二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)個數(shù)，討論一元二次方程的根的情況培養(yǎng)學(xué)生自主探索意識，從中體會事物普遍聯(lián)系的觀點(diǎn)，進(jìn)一步體會數(shù)形結(jié)合思想.
四 教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)
重點(diǎn)：方程與函數(shù)之間的聯(lián)系，會利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似解。
難點(diǎn)：二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)的個數(shù)與一元二次方程的根的個數(shù)之間的關(guān)系。
五 教學(xué)方法
討論探索法
六 教學(xué)過程設(shè)計(jì)
(一)問題的提出與解決
問題 如圖，以20m/s的速度將小球沿與地面成30角的方向擊出時，球的飛行路線將是一條拋物線。如果不考慮空氣阻力，球的飛行高度h(單位：m)與飛行時間t(單位：s)之間具有關(guān)系
h=20t5t2。
考慮以下問題
(1)球的飛行高度能否達(dá)到15m?如能，需要多少飛行時間?
(2)球的飛行高度能否達(dá)到20m?如能，需要多少飛行時間?
(3)球的飛行高度能否達(dá)到20.5m?為什么?
(4)球從飛出到落地要用多少時間?
分析：由于球的飛行高度h與飛行時間t的關(guān)系是二次函數(shù)
h=20t-5t2。
所以可以將問題中h的值代入函數(shù)解析式，得到關(guān)于t的一元二次方程，如果方程有合乎實(shí)際的'解，則說明球的飛行高度可以達(dá)到問題中h的值：否則，說明球的飛行高度不能達(dá)到問題中h的值。
解：(1)解方程 15=20t5t2。 t24t+3=0。 t1=1,t2=3。
當(dāng)球飛行1s和3s時，它的高度為15m。
(2)解方程 20=20t-5t2。 t2-4t+4=0。 t1=t2=2。
當(dāng)球飛行2s時，它的高度為20m。
(3)解方程 20.5=20t-5t2。 t2-4t+4.1=0。
因?yàn)?-4)2-44.10。所以方程無解。球的飛行高度達(dá)不到20.5m。
(4)解方程 0=20t-5t2。 t2-4t=0。 t1=0,t2=4。
當(dāng)球飛行0s和4s時，它的高度為0m，即0s時球從地面飛出。4s時球落回地面。
由學(xué)生小組討論，總結(jié)出二次函數(shù)與一元二次方程的解有什么關(guān)系?
例如：已知二次函數(shù)y=-x2+4x的值為3。求自變量x的值。
分析 可以解一元二次方程-x2+4x=3(即x2-4x+3=0) 。反過來，解方程x2-4x+3=0又可以看作已知二次函數(shù)y=x2-4+3的值為0，求自變量x的值。
一般地，我們可以利用二次函數(shù)y=ax2+bx+c深入討論一元二次方程ax2+bx+c=0。
(二)問題的討論
二次函數(shù)(1)y=x2+x-2;
(2) y=x2-6x+9;
(3) y=x2-x+0。
的圖象如圖26.2-2所示。
(1)以上二次函數(shù)的圖象與x軸有公共點(diǎn)嗎?如果有，有多少個交點(diǎn)，公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)是多少?
(2)當(dāng)x取公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)時，函數(shù)的值是多少?由此，你能得出相應(yīng)的一元二次方程的根嗎?
先畫出以上二次函數(shù)的圖象，由圖像學(xué)生展開討論，在老師的引導(dǎo)下回答以上的問題。
可以看出：
(1)拋物線y=x2+x-2與x軸有兩個公共點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)是-2，1。當(dāng)x取公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)時，函數(shù)的值是0。由此得出方程x2+x-2=0的根是-2,1。
(2)拋物線y=x2-6x+9與x軸有一個公共點(diǎn)，這點(diǎn)的橫坐標(biāo)是3。當(dāng)x=3時，函數(shù)的值是0。由此得出方程x2-6x+9=0有兩個相等的實(shí)數(shù)根3。
(3)拋物線y=x2-x+1與x軸沒有公共點(diǎn)， 由此可知，方程x2-x+1=0沒有實(shí)數(shù)根。
總結(jié)：一般地，如果二次函數(shù)y= 的圖像與x軸相交，那么交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是一元二次方程 =0的根。
(三)歸納
一般地，從二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象可知，
(1)如果拋物線y=ax2+bx+c與x軸有公共點(diǎn)，公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)是x0，那么當(dāng)x=x0時，函數(shù)的值是0，因此x=x0就是方程ax2+bx+c=0的一個根。
(2)二次函數(shù)的圖象與x軸的位置關(guān)系有三種：沒有公共點(diǎn)，有一個公共點(diǎn)，有兩個公共點(diǎn)。這對應(yīng)著一元二次方程根的三種情況：沒有實(shí)數(shù)根，有兩個相等的實(shí)數(shù)根，有兩個不等的實(shí)數(shù)根。
由上面的結(jié)論，我們可以利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的根。由于作圖或觀察可能存在誤差，由圖象求得的根，一般是近似的。
(四)例題
例 利用函數(shù)圖象求方程x2-2x-2=0的實(shí)數(shù)根(精確到0.1)。
解：作y=x2-2x-2的圖象(如圖)，它與x軸的公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)大約是-0.7,2.7。
所以方程x2-2x-2=0的實(shí)數(shù)根為x1-0.7,x22.7。
七 小結(jié)
二次函數(shù)的圖象與x軸的位置關(guān)系有三種：沒有公共點(diǎn)，有一個公共點(diǎn)，有兩個公共點(diǎn)。這對應(yīng)著一元二次方程根的三種情況：沒有實(shí)數(shù)根，有兩個相等的實(shí)數(shù)根，有兩個不等的實(shí)數(shù)根。
。
八 板書設(shè)計(jì)
用函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次方程
拋物線y=ax2+bx+c與方程ax2+bx+c=0的解之間的關(guān)系
例題
一元二次方程教案10
一、素質(zhì)教育目標(biāo)
（一）知識教學(xué)點(diǎn)：使學(xué)生會用列一元二次方程的方法解決有關(guān)增長率問題．
（二）能力訓(xùn)練點(diǎn)：進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生化實(shí)際問題為數(shù)學(xué)問題的能力和分析問題解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識．
二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)
1．教學(xué)重點(diǎn)：學(xué)會用列方程的方法解決有關(guān)增長率問題．
2．教學(xué)難點(diǎn)：有關(guān)增長率之間的數(shù)量關(guān)系．下列詞語的異同；增長，增長了，增長到；擴(kuò)大，擴(kuò)大到，擴(kuò)大了．
三、教學(xué)步驟
（一）明確目標(biāo)．
（二）整體感知
（三）重點(diǎn)、難點(diǎn)的學(xué)習(xí)和目標(biāo)完成過程
1．復(fù)習(xí)提問
（1）原產(chǎn)量+增產(chǎn)量=實(shí)際產(chǎn)量．
（2）單位時間增產(chǎn)量=原產(chǎn)量×增長率．
（3）實(shí)際產(chǎn)量=原產(chǎn)量×（1+增長率）．
2．例1 某鋼鐵廠去年一月份某種鋼的產(chǎn)量為5000噸，三月份上升到7200噸，這兩個月平均每月增長的百分率是多少？
分析：設(shè)平均每月的增長率為x．
則2月份的產(chǎn)量是5000+5000x=5000（1+x）（噸）．
3月份的產(chǎn)量是[5000（1+x）+5000（1+x）x]
=5000（1+x）2（噸）．
解：設(shè)平均每月的增長率為x，據(jù)題意得：
5000（1+x）2=7200
（1+x）2=1。44
1+x=±1。2．
x1=0。2，x2=-2。2（不合題意，舍去）．
取x=0。2=20％．
教師引導(dǎo)，點(diǎn)撥、板書，學(xué)生回答．
注意以下幾個問題：
（1）為計(jì)算簡便、直接求得，可以直接設(shè)增長的百分率為x．
（2）認(rèn)真審題，弄清基數(shù)，增長了，增長到等詞語的關(guān)系．
（3）用直接開平方法做簡單，不要將括號打開．
練習(xí)1．教材P。42中5．
學(xué)生分析題意，板書，筆答，評價．
練習(xí)2．若設(shè)每年平均增長的百分?jǐn)?shù)為x，分別列出下面幾個問題的方程．
（1）某工廠用二年時間把總產(chǎn)值增加到原來的b倍，求每年平均增長的百分率．
（1+x）2=b（把原來的總產(chǎn)值看作是1．）
（2）某工廠用兩年時間把總產(chǎn)值由a萬元增加到b萬元，求每年平均增長的百分?jǐn)?shù)．
（a（1+x）2=b）
（3）某工廠用兩年時間把總產(chǎn)值增加了原來的b倍，求每年增長的百分?jǐn)?shù)．
（（1+x）2=b+1把原來的總產(chǎn)值看作是1．）
以上學(xué)生回答，教師點(diǎn)撥．引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)下面的規(guī)律：
設(shè)某產(chǎn)量原來的.產(chǎn)值是a，平均每次增長的百分率為x，則增長一次后的產(chǎn)值為a（1+x），增長兩次后的產(chǎn)值為a（1+x）2 ，…………增長n次后的產(chǎn)值為S=a（1+x）n．
規(guī)律的得出，使學(xué)生對此類問題能居高臨下，同時培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和創(chuàng)造能力．
例2 某產(chǎn)品原來每件600元，由于連續(xù)兩次降價，現(xiàn)價為384元，如果兩個降價的百分?jǐn)?shù)相同，求每次降價百分之幾？
分析：設(shè)每次降價為x．
第一次降價后，每件為600-600x=600（1-x）（元）．
第二次降價后，每件為600（1-x）-600（1-x）x
=600（1-x）2（元）．
解：設(shè)每次降價為x，據(jù)題意得
600（1-x）2=384．
答：平均每次降價為20％．
教師引導(dǎo)學(xué)生分析完畢，學(xué)生板書，筆答，評價，對比，總結(jié)．
引導(dǎo)學(xué)生對比“增長”、“下降”的區(qū)別．如果設(shè)平均每次增長或下降為x，則產(chǎn)值a經(jīng)過兩次增長或下降到b，可列式為a（1+x）2=b（或a（1-x）2=b）．
（四）總結(jié)、擴(kuò)展
1．善于將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，嚴(yán)格審題，弄清各數(shù)據(jù)相互關(guān)系，正確布列方程．培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識以及滲透轉(zhuǎn)化和方程的思想方法．
2．在解方程時，注意巧算；注意方程兩根的取舍問題．
3．我們只學(xué)習(xí)一元一次方程，一元二次方程的解法，所以只求到兩年的增長率．3年、4年……，n年，應(yīng)該說按照規(guī)律我們可以列出方程，隨著知識的增加，我們也將會解這些方程．
四、布置作業(yè)
教材P。42中A8
五、板書設(shè)計(jì)
12。6 一元二次方程應(yīng)用（三）
1．?dāng)?shù)量關(guān)系：例1……例2……
（1）原產(chǎn)量+增產(chǎn)量=實(shí)際產(chǎn)量分析：……分析……
（2）單位時間增產(chǎn)量=原產(chǎn)量×增長率解……解……
（3）實(shí)際產(chǎn)量=原產(chǎn)量（1+增長率）
2．最后產(chǎn)值、基數(shù)、平均增長率、時間
的基本關(guān)系：
M=m（1+x）n n為時間
M為最后產(chǎn)量，m為基數(shù)，x為平均增長率
12．6 一元二次方程的應(yīng)用（三）
一、素質(zhì)教育目標(biāo)
（一）知識教學(xué)點(diǎn)：使學(xué)生會用列一元二次方程的方法解決有關(guān)增長率問題．
（二）能力訓(xùn)練點(diǎn)：進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生化實(shí)際問題為數(shù)學(xué)問題的能力和分析問題解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識．
二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)
1．教學(xué)重點(diǎn)：學(xué)會用列方程的方法解決有關(guān)增長率問題．
2．教學(xué)難點(diǎn)：有關(guān)增長率之間的數(shù)量關(guān)系．下列詞語的異同；增長，增長了，增長到；擴(kuò)大，擴(kuò)大到，擴(kuò)大了．
三、教學(xué)步驟
（一）明確目標(biāo)．
（二）整體感知
（三）重點(diǎn)、難點(diǎn)的學(xué)習(xí)和目標(biāo)完成過程
1．復(fù)習(xí)提問
（1）原產(chǎn)量+增產(chǎn)量=實(shí)際產(chǎn)量．
（2）單位時間增產(chǎn)量=原產(chǎn)量×增長率．
（3）實(shí)際產(chǎn)量=原產(chǎn)量×（1+增長率）．
2．例1 某鋼鐵廠去年一月份某種鋼的產(chǎn)量為5000噸，三月份上升到7200噸，這兩個月平均每月增長的百分率是多少？
分析：設(shè)平均每月的增長率為x．
則2月份的產(chǎn)量是5000+5000x=5000（1+x）（噸）．
3月份的產(chǎn)量是[5000（1+x）+5000（1+x）x]
=5000（1+x）2（噸）．
解：設(shè)平均每月的增長率為x，據(jù)題意得：
5000（1+x）2=7200
（1+x）2=1。44
1+x=±1。2．
x1=0。2，x2=-2。2（不合題意，舍去）．
取x=0。2=20％．
教師引導(dǎo)，點(diǎn)撥、板書，學(xué)生回答．
注意以下幾個問題：
（1）為計(jì)算簡便、直接求得，可以直接設(shè)增長的百分率為x．
（2）認(rèn)真審題，弄清基數(shù)，增長了，增長到等詞語的關(guān)系．
（3）用直接開平方法做簡單，不要將括號打開．
練習(xí)1．教材P。42中5．
學(xué)生分析題意，板書，筆答，評價．
練習(xí)2．若設(shè)每年平均增長的百分?jǐn)?shù)為x，分別列出下面幾個問題的方程．
（1）某工廠用二年時間把總產(chǎn)值增加到原來的b倍，求每年平均增長的百分率．
（1+x）2=b（把原來的總產(chǎn)值看作是1．）
（2）某工廠用兩年時間把總產(chǎn)值由a萬元增加到b萬元，求每年平均增長的百分?jǐn)?shù)．
（a（1+x）2=b）
（3）某工廠用兩年時間把總產(chǎn)值增加了原來的b倍，求每年增長的百分?jǐn)?shù)．
（（1+x）2=b+1把原來的總產(chǎn)值看作是1．）
以上學(xué)生回答，教師點(diǎn)撥．引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)下面的規(guī)律：
設(shè)某產(chǎn)量原來的產(chǎn)值是a，平均每次增長的百分率為x，則增長一次后的產(chǎn)值為a（1+x），增長兩次后的產(chǎn)值為a（1+x）2 ，…………增長n次后的產(chǎn)值為S=a（1+x）n．
規(guī)律的得出，使學(xué)生對此類問題能居高臨下，同時培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和創(chuàng)造能力．
例2 某產(chǎn)品原來每件600元，由于連續(xù)兩次降價，現(xiàn)價為384元，如果兩個降價的百分?jǐn)?shù)相同，求每次降價百分之幾？
分析：設(shè)每次降價為x．
第一次降價后，每件為600-600x=600（1-x）（元）．
第二次降價后，每件為600（1-x）-600（1-x）x
=600（1-x）2（元）．
解：設(shè)每次降價為x，據(jù)題意得
600（1-x）2=384．
答：平均每次降價為20％．
教師引導(dǎo)學(xué)生分析完畢，學(xué)生板書，筆答，評價，對比，總結(jié)．
引導(dǎo)學(xué)生對比“增長”、“下降”的區(qū)別．如果設(shè)平均每次增長或下降為x，則產(chǎn)值a經(jīng)過兩次增長或下降到b，可列式為a（1+x）2=b（或a（1-x）2=b）．
（四）總結(jié)、擴(kuò)展
1．善于將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，嚴(yán)格審題，弄清各數(shù)據(jù)相互關(guān)系，正確布列方程．培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識以及滲透轉(zhuǎn)化和方程的思想方法．
2．在解方程時，注意巧算；注意方程兩根的取舍問題．
3．我們只學(xué)習(xí)一元一次方程，一元二次方程的解法，所以只求到兩年的增長率．3年、4年……，n年，應(yīng)該說按照規(guī)律我們可以列出方程，隨著知識的增加，我們也將會解這些方程．
四、布置作業(yè)
教材P。42中A8
五、板書設(shè)計(jì)
12。6 一元二次方程應(yīng)用（三）
1．?dāng)?shù)量關(guān)系：例1……例2……
（1）原產(chǎn)量+增產(chǎn)量=實(shí)際產(chǎn)量分析：……分析……
（2）單位時間增產(chǎn)量=原產(chǎn)量×增長率解……解……
（3）實(shí)際產(chǎn)量=原產(chǎn)量（1+增長率）
2．最后產(chǎn)值、基數(shù)、平均增長率、時間的基本關(guān)系：
M=m（1+x）n n為時間
M為最后產(chǎn)量，m為基數(shù)，x為平均增長率
一元二次方程教案11
教學(xué)目標(biāo)：
知識與技能目標(biāo)：
經(jīng)歷探索一元二次方程概念的過程，理解一元二次方程中的二次項(xiàng)、一次項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)；了解一元二次方程的一般形式，并會將一元二次方程轉(zhuǎn)化成一般形式。
過程與方法目標(biāo)：
經(jīng)歷抽象一元二次方程的概念的過程，進(jìn)一步體會方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的一個有效數(shù)學(xué)模型；在探索過程中培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主動性，提高數(shù)學(xué)的應(yīng)用能力。
情感態(tài)度與價值觀目標(biāo)：
培養(yǎng)學(xué)生主動參與、合作交流的意識；經(jīng)歷獨(dú)立克服困難和運(yùn)用知識解決問題的成功體驗(yàn)，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心。
教學(xué)重點(diǎn)：
理解一元二次方程的概念及其形式。
教學(xué)難點(diǎn)：
一元二次方程概念的探索
教學(xué)過程
一、情境引入
今天我們學(xué)習(xí)一元二次方程，溫故而知新，我們都學(xué)過什么方程？（一元一次方程，分式方程，方程組）同桌兩人說說學(xué)過這些方程的定義都是什么。你覺得學(xué)過這些方程難嗎？只要你拿出你的學(xué)習(xí)熱情來，就會感覺這節(jié)課的內(nèi)容，也很簡單。請你打開課本39頁，從39頁到40頁議一議以上的內(nèi)容，希望你準(zhǔn)確而又迅速的在課本上列出方程，不用求解。列出方程后組內(nèi)對一下答案，如有錯誤，出錯的原因。（3’）
二、探索新知
列方程正確率百分之百的請舉手。祝賀你們，沒舉手的同學(xué)加油！（列對的同學(xué)多就問，否則問現(xiàn)在會列這些方程的請舉手）
請你將上述三個方程，化簡成等號右邊等于0的形式。完成后組內(nèi)對一下答案，先完成的小組把你們的成果寫在黑板上，其余組跟黑板上的答案對一下，有不同意見的把你們組的答案也寫上去。（黑板上的答案對嗎？如有沒約分的，問哪個更好？）
觀察、思考剛才這3個方程2x2-13x+11=0,x2-8x-20=0,x2+12x-15=0,以及又加入的這兩個方程x2+3x=0,4x2-5=0是一元一次方程嗎？你猜這些方程叫什么方程？對，這樣的方程就是我們今天學(xué)習(xí)的一元二次方程。
請大家先思考然后小組討論導(dǎo)學(xué)案中探究一中的問題2到6，組長找好本題發(fā)言人，最后全班交流你們組對問題5和6的看法。
2、以上方程與一元一次方程有什么相同與不同之處？
3、你能說說什么樣的方程是一元二次方程嗎？
4、如果我們借助字母系數(shù)來表示，那么以上方程能都化成一個方程--------------------------，用字母表示系數(shù)時，要注意什么嗎？
5、你們組歸納的'一元二次方程的概念與課本40頁的定義有區(qū)別嗎？誰的更好？好在哪？
6、你認(rèn)為一元二次方程的概念中重點(diǎn)要強(qiáng)調(diào)的是什么？為什么？
請3組同學(xué)交流一下你們討論的問題5、6的結(jié)果。老師根據(jù)學(xué)生的回答，有針對性的提出為什么這樣想？你的理由是什么？以強(qiáng)調(diào)a≠0。并板書（1）含一個未知數(shù)（2）2次（3）整式方程，一般形式ax2+bx+c=0(a、b、c、為常數(shù)a≠0)有沒有要補(bǔ)充或者要發(fā)表不同看法的小組？
請你搶答問題7。
7、判斷下列方程是不是一元二次方程,若不是請說明理由。
同桌兩人能舉出幾個一元二次方程的例子嗎？
探索二
先自學(xué)課本40最后一段話，然后同桌兩人說出黑板上3個方程的二次項(xiàng)、二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)。
找一元二次方程各項(xiàng)及其各項(xiàng)系數(shù)時，需要注意什么嗎？（先要是一般形式，系數(shù)帶符號）請你完成探究二中問題1，請2組、4組選派一名同學(xué)分別上黑板（10、（2）兩題。完成后對照課本41頁例1自己檢查對錯，有困難的同學(xué)找組長和我。
1、判斷下列方程是不是關(guān)于x的一元二次方程，如果是，寫出它的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)。
（1）3x(x+2)=4(x-1)+7（2）(2x+3)2=(x+1)(4x-1)
問題3做對了的同學(xué)請舉手？祝賀你們。出錯的同學(xué)能不能把你的寶貴經(jīng)驗(yàn)告訴我們，我們下次也好注意一下，別再出錯？請你說說，謝謝你對我們的提醒。
三、鞏固練習(xí)
請看問題2，
2、已知關(guān)于x的方程（1）k為何值時，此方程為一元二次方程？（2）k為何值時，此方程為一元一次方程？誰能回答？為什么這樣想？
四、課堂：
先小組內(nèi)說出本節(jié)課你的收獲，然后全班交流你們組的收獲。大家看看哪個小組的收獲多。
五、自我檢測：
看看我們的收獲是不是真的
碩果累累，請你完成自我檢測給你5分鐘時間，做完的給我和組長檢查。老師和小組長當(dāng)堂批改
1、三個連續(xù)整數(shù)兩兩相乘，所得積的和為242，這三個數(shù)分別是多少？
根據(jù)題意，列出方程為------------------------------------。
2.把下列方程化為一元二次方程的形式，并寫出它的二次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)：
方程
一般形式
二次項(xiàng)系數(shù)
常數(shù)項(xiàng)
3x2=5x-1
(x+2)(x-1)=6
3、關(guān)于x的方程（k-2）x2+2(k+9)x+2k-1=0
（1）k為何值時，是一元二次方程？k--------------是一元二次方程。
（2）k為何值時，是一元一次方程？k-------------是一元一次方程。
六、小組
請小組長本小組今天大家的表現(xiàn)。
七、作業(yè)
課本42頁1（2），2（1）（2）（3）
能力挑戰(zhàn)：
已知關(guān)于x的方程(k2-1)x2+(k+1)x-2=0
（1）k為何值時，此方程為一元二次方程？并寫出該一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)。（2）k為何值時，此方程為一元一次方程？
板書設(shè)計(jì)：一元二次方程
（1）3x(x+2)=4(x-1)+7（2）(2x+3)2=(x+1)(4x-1)
2x2-13x+11=0（1）含一個未知數(shù)（2）2次
x2-8x-20=0（3）整式方程
x2+12x-15=0一般形式ax2+bx+c=0(a、b、c、為常數(shù)a≠0)
二次項(xiàng)一次項(xiàng)常數(shù)項(xiàng)
二次項(xiàng)系數(shù)一次項(xiàng)系數(shù)常數(shù)項(xiàng)系數(shù)
參加區(qū)優(yōu)質(zhì)課評比反思：
這次有幸參加我區(qū)優(yōu)質(zhì)課評比，感受頗多。
一、對三分之一課堂模式有了更深的理解。數(shù)學(xué)課的三分之一模式不是簡單的把課堂分成三大塊，也不是自主探索、小組合作、教師引導(dǎo)，一定是嚴(yán)格的都是15分鐘，這要根據(jù)課程的內(nèi)容，靈活的把握。我講的《一元二次方程》這一節(jié)中，簡單問題我就讓大家自主探索，對于難度大的問題，自主探索后先小組合作，最后師生一起進(jìn)行歸納。
二、臺上一分鐘，臺下十年功。通過參加這次活動，我想，我在今后的課堂教學(xué)中，就要用優(yōu)質(zhì)課的進(jìn)行教學(xué)，如果平時的授課方式和優(yōu)質(zhì)課的方式差別很大的話，雖然是經(jīng)過加工了的課，但最后一定會帶有很多平時上課的影子，很多不規(guī)范的方面還是難以改正的。
三、集體的智慧很重要。一個人的力量是有限的，但集體的力量是無限的。我很感謝我們數(shù)學(xué)組的各位老師對我的大力支持，他們一遍一遍的給提出修改建議，一次一次的跟我去聽課，尤其是李老師、戰(zhàn)老師、林老師，她們給了我教學(xué)理念上的很多建議，讓我的教學(xué)理念有了很大的提升。
一元二次方程教案12
教學(xué)內(nèi)容
一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有關(guān)概念．
教學(xué)目標(biāo)
了解一元二次方程的概念；一般式ax2+bx+c=0（a≠0）及其派生的概念；應(yīng)用一元二次方程概念解決一些簡單題目．
1．通過設(shè)置問題，建立數(shù)學(xué)模型，模仿一元一次方程概念給一元二次方程下定義．
2．一元二次方程的一般形式及其有關(guān)概念．
3．解決一些概念性的題目．
4．態(tài)度、情感、價值觀
4．通過生活學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，并用數(shù)學(xué)解決生活中的問題來激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情．
重難點(diǎn)關(guān)鍵
1．重點(diǎn)：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有關(guān)概念并用這些概念解決問題．
2．難點(diǎn)關(guān)鍵：通過提出問題，建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型，再由一元一次方程的概念遷移到一元二次方程的概念．
教學(xué)過程
一、復(fù)習(xí)引入
學(xué)生活動：列方程．
問題（1）《九章算術(shù)》“勾股”章有一題：“今有戶高多于廣六尺八寸，兩隅相去適一丈，問戶高、廣各幾何？”
大意是說：已知長方形門的高比寬多6尺8寸，門的對角線長1丈，那么門的高和寬各是多少？
如果假設(shè)門的高為x尺，那么，這個門的寬為_______尺，根據(jù)題意，得________．
整理、化簡，得：__________．
問題（2）如圖，如果 ，那么點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)．
如果假設(shè)剪后的正方形邊長為x，那么原來長方形長是________，寬是_____，根據(jù)題意，得：_______．
整理，得：________．
老師點(diǎn)評并分析如何建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型，并整理．
二、探索新知
學(xué)生活動：請口答下面問題．
（1）上面三個方程整理后含有幾個未知數(shù)？
（2）按照整式中的多項(xiàng)式的規(guī)定，它們最高次數(shù)是幾次？
（3）有等號嗎？或與以前多項(xiàng)式一樣只有式子？
老師點(diǎn)評：（1）都只含一個未知數(shù)x；（2）它們的最高次數(shù)都是2次的；（3）都有等號，是方程．
因此，像這樣的.方程兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．
一般地，任何一個關(guān)于x的一元二次方程，經(jīng)過整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．這種形式叫做一元二次方程的一般形式．
一個一元二次方程經(jīng)過整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次項(xiàng)，a是二次項(xiàng)系數(shù)；bx是一次項(xiàng)，b是一次項(xiàng)系數(shù)；c是常數(shù)項(xiàng)．
例1．將方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)．
分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．因此，方程（8-2x）（5-2x）=18必須運(yùn)用整式運(yùn)算進(jìn)行整理，包括去括號、移項(xiàng)等．
解：去括號，得：
40-16x-10x+4x2=18
移項(xiàng)，得：4x2-26x+22=0
其中二次項(xiàng)系數(shù)為4，一次項(xiàng)系數(shù)為-26，常數(shù)項(xiàng)為22．
例2．（學(xué)生活動：請二至三位同學(xué)上臺演練） 將方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項(xiàng)、二次項(xiàng)系數(shù)；一次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)；常數(shù)項(xiàng)．
分析：通過完全平方公式和平方差公式把（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成ax2+bx+c=0（a≠0）的形式．
解：去括號，得：
x2+2x+1+x2-4=1
移項(xiàng)，合并得：2x2+2x-4=0
其中：二次項(xiàng)2x2，二次項(xiàng)系數(shù)2；一次項(xiàng)2x，一次項(xiàng)系數(shù)2；常數(shù)項(xiàng)-4．
三、鞏固練習(xí)
教材P32 練習(xí)1、2
四、應(yīng)用拓展
例3．求證：關(guān)于x的方程（2-8+17）x2+2x+1=0，不論取何值，該方程都是一元二次方程．
分析：要證明不論取何值，該方程都是一元二次方程，只要證明2-8+17≠0即可．
證明：2-8+17=（-4）2+1
∵（-4）2≥0
∴（-4）2+1>0，即（-4）2+1≠0
∴不論取何值，該方程都是一元二次方程．
五、歸納小結(jié)（學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評）
本節(jié)課要掌握：
（1）一元二次方程的概念；（2）一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）和二次項(xiàng)、二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)的概念及其它們的運(yùn)用．
六、布置作業(yè)
一元二次方程教案13
一、教學(xué)目標(biāo)：
1．經(jīng)歷探索二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系的過程，體會方程與函數(shù)之間的聯(lián)系．
2．理解拋物線交x軸的點(diǎn)的個數(shù)與一元二次方程的根的個數(shù)之間的關(guān)系，理解何時方程有兩個不等的實(shí)根、兩個相等的實(shí)數(shù)和沒有實(shí)根．
3．能夠利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似根。
二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：
教學(xué)重點(diǎn)：
1．體會方程與函數(shù)之間的聯(lián)系。
2．能夠利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似根。
教學(xué)難點(diǎn)：
1．探索方程與函數(shù)之間關(guān)系的過程。
2．理解二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)的個數(shù)與一元二次方程的`根的個數(shù)之間的關(guān)系。
三、教學(xué)方法：啟發(fā)引導(dǎo) 合作交流
四：教具、學(xué)具：課件
五、教學(xué)媒體：計(jì)算機(jī)、實(shí)物投影。
六、教學(xué)過程：
檢查預(yù)習(xí) 引出課題
預(yù)習(xí)作業(yè)：
1．解方程：（1）x2+x－2=0; (2) x2－6x+9=0; (3) x2－x+1=0; (4) x2－2x－2=0.
2. 回顧一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系，利用函數(shù)的圖象求方程3x-4=0的解.
師生行為：教師展示預(yù)習(xí)作業(yè)的內(nèi)容，指名回答，師生共同回顧舊知，教師做出適當(dāng)總結(jié)和評價。
教師重點(diǎn)關(guān)注：學(xué)生回答問題結(jié)論準(zhǔn)確性，能否把前后知識聯(lián)系起來，2題的格式要規(guī)范。
設(shè)計(jì)意圖：這兩道預(yù)習(xí)題目是對舊知識的回顧，為本課的教學(xué)起到鋪墊的作用,1題中的三個方程是課本中觀察欄目中的三個函數(shù)式的變式，這三個方程把二次方程的根的三種情況體現(xiàn)出來，讓學(xué)生回顧二次方程的相關(guān)知識；2題是一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系的問題，這題的設(shè)計(jì)是讓學(xué)生用學(xué)過的熟悉的知識類比探究本課新知識。
一元二次方程教案14
教學(xué)目的 知識技能 使學(xué)生會用列一元二次方程的方法解決有關(guān)面積、體積方面和經(jīng)濟(jì)方面的問題.
數(shù)學(xué)思考 提高將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力以及用數(shù)學(xué)的意識，滲透轉(zhuǎn)化的思想、方程的思想及數(shù)形結(jié)合的思想.
解決問題 通過列一元二次方程的方法解決日常生活及生產(chǎn)實(shí)際中遇到的有關(guān)面積、體積方面和經(jīng)濟(jì)方面的問題.
情感態(tài)度 通過探究性學(xué)習(xí),抓住問題的關(guān)鍵，揭示它的規(guī)律性，展示解題的簡潔性的數(shù)學(xué)美.
教學(xué)難點(diǎn) 審題，從文字語言中挖掘有價值的信息.
知識重點(diǎn) 會用列一元二次方程的`方法解有關(guān)面積、體積方面和經(jīng)濟(jì)方面的問題.
教學(xué)過程 設(shè)計(jì)意圖
教學(xué)過程
問題一：列方程解應(yīng)用題的一般步驟？
師生共同回憶
列方程解應(yīng)用題的步驟：
（1）審題；（2）設(shè)未知數(shù)；
（3）列方程；（4）求解；
（5）檢驗(yàn)； （6）答.
問題二：矩形的周長和面積？長方體的體積？
問題三：如圖，某小區(qū)內(nèi)有一塊長、寬比為1：2的矩形空地，計(jì)劃在該空地上修筑兩條寬均為2m的互相垂直的小路，余下的四塊小矩形空地鋪成草坪，如果四塊草坪的面積之和為312m2，請求出原來大矩形空地的長和寬.
教師活動：引導(dǎo)學(xué)生讀題，找到題目中的關(guān)鍵語句.
學(xué)生活動：在關(guān)鍵語句中找到反映相等關(guān)系的語句，探究解決辦法.
教師活動：用多媒體演示分析，解題方法.
做一做
如圖，有一塊長80cm，寬60cm的硬紙片，在四個角各剪去一個同樣的小正方形，用剩余部分做成一個底面積為1500cm2的無蓋的長方體盒子.求剪去的小正方形的邊長.
課堂練習(xí)：將一個長方形的長縮短5cm，寬增長3cm，正好得到一個正方形.已知原長方形的面積是正方形面積的 ，求這個正方形的邊長.
問題四：某商場銷售一種服裝，平均每天可售出20件，每件贏利40元.經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：如果每件服裝降價1元，平均每天能多售出2件.在國慶節(jié)期間，商場決定采取降價促銷的措施，以達(dá)到減少庫存、擴(kuò)大銷售量的目的如果銷售這種服裝每天贏利1200元，那么每件服裝應(yīng)降價多少元？
學(xué)生活動：在眾多的文字中，找到關(guān)鍵語句，分析相等關(guān)系.
教師活動：用多媒體幫助學(xué)生分析試題.提示學(xué)生檢驗(yàn)解的合理性.
課堂練習(xí)：1.經(jīng)銷商以每雙21元的價格從廠家購進(jìn)一批運(yùn)動鞋，如果每雙鞋售價為a元，那么可以賣出這種運(yùn)動鞋（350-10a）雙.物價局限定每雙鞋的售價不得超過進(jìn)價的120％.如果商店要賺400元，每雙鞋的售價應(yīng)定為多少元？需要賣出多少雙鞋？
2.某商店從廠家以每件18元的價格購進(jìn)一批商品，該商店可以自行定價．據(jù)市場調(diào)查，該商品的售價與銷售量的關(guān)系是：若每件售價a元，則可賣出(320-10a)件，但物價部門限定每件商品加價不能超過進(jìn)貨價25 ％的．如果商店計(jì)劃要獲利400元，則每件商品的售價應(yīng)定為多少元？需要賣出這種商品多少件？（每件商品的利潤＝售價進(jìn)貨價）
復(fù)習(xí)列方程解應(yīng)用題的一般步驟.
本題為后面解決有關(guān)面積、體積方面問題做鋪墊.
提高學(xué)生的審題能力.使學(xué)生會解決有關(guān)面積的問題.
解決體積問題的問題
培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識以及滲透轉(zhuǎn)化和方程的思想方法.
強(qiáng)調(diào)對方程的解進(jìn)行雙重檢驗(yàn).
小結(jié)與作業(yè)
課堂
小結(jié) 利用一元二次方程解決實(shí)際問題時，要注意通過實(shí)際要求檢驗(yàn)根的合理性，要注意審題能力的培養(yǎng).
本課
作業(yè) 課本第43頁 習(xí)題2
課后隨筆（課堂設(shè)計(jì)理念，實(shí)際教學(xué)效果及改進(jìn)設(shè)想）
一元二次方程教案15
一、教材分析：
1、教材所處的地位：此前學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了應(yīng)用一元一次方程與二元一次方程組來解決實(shí)際問題。本節(jié)仍是進(jìn)一步討論如何建立和利用一元二次方程模型來解決實(shí)際問題，只是在問題中數(shù)量關(guān)系的復(fù)雜程度上又有了新的發(fā)展。
2、教學(xué)目標(biāo)要求：
（1）能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系，列出一元二次方程，體會方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的一個有效的數(shù)學(xué)模型；
（2）能根據(jù)具體問題的實(shí)際意義，檢驗(yàn)結(jié)果是否合理；
（3）經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象為代數(shù)問題的過程，探索問題中的數(shù)量關(guān)系，并能運(yùn)用一元二次方程對之進(jìn)行描述；
（4）通過用一元二次方程解決身邊的問題，體會數(shù)學(xué)知識應(yīng)用的價值，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，了解數(shù)學(xué)對促進(jìn)社會進(jìn)步和發(fā)展人類理性精神的作用。
3、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)：
重點(diǎn)：列一元二次方程解與面積有關(guān)問題的應(yīng)用題。
難點(diǎn)：發(fā)現(xiàn)問題中的等量關(guān)系。
二．教法、學(xué)法分析：
1、本節(jié)課的設(shè)計(jì)中除了探究3教師參與多一些外，其余時間都堅(jiān)持以學(xué)生為主體，充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性。教學(xué)過程中，教師只注重點(diǎn)、引、激、評，注重學(xué)生探究能力的培養(yǎng)。還課堂給學(xué)生，讓學(xué)生去親身體驗(yàn)知識的產(chǎn)生過程，拓展學(xué)生的創(chuàng)造性思維。同時，注意加強(qiáng)對學(xué)生的`啟發(fā)和引導(dǎo)，鼓勵培養(yǎng)學(xué)生們大膽猜想，小心求證的科學(xué)研究的思想。
2、本節(jié)內(nèi)容學(xué)習(xí)的關(guān)鍵所在，是如何尋求、抓準(zhǔn)問題中的數(shù)量關(guān)系，從而準(zhǔn)確列出方程來解答。因此課堂上從審題，找到等量關(guān)系，列方程等一系列活動都由生生交流，兵教兵從而達(dá)到發(fā)展學(xué)生思維能力和自學(xué)能力的目的，發(fā)掘?qū)W生的創(chuàng)新精神。
三．教學(xué)流程分析：
本節(jié)課是新授課，根據(jù)學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)，整個課堂教學(xué)流程大致可分為：
活動1復(fù)習(xí)回顧解決課前參與
活動2封面設(shè)計(jì)問題的探究
活動3草坪規(guī)劃問題的延伸
活動4課堂回眸
這一流程體現(xiàn)了知識發(fā)生、形成和發(fā)展的過程，讓學(xué)生體會到觀察、猜想、歸納、驗(yàn)證的思想和數(shù)形結(jié)合的思想。
活動1復(fù)習(xí)回顧解決課前參與
由學(xué)生展示課前參與題目，集體訂正。目的在于回顧常用幾何圖形的面積公式，并且引出本節(jié)學(xué)習(xí)內(nèi)容——面積問題。
活動2封面設(shè)計(jì)問題的探究
通過學(xué)生自己獨(dú)立審題，找尋等量關(guān)系，教師引導(dǎo)學(xué)生對“正中央矩形與封面長寬比例相同”題意的理解，使學(xué)生明白中央矩形長寬比為9：7，從而進(jìn)一步突破難點(diǎn)：上下邊襯與左右邊襯比也為9：7，為學(xué)生設(shè)未知數(shù)提供幫助。之后由學(xué)生分組完成方程的列法，以及取法。講解中注重簡便設(shè)法及解法的指導(dǎo)與評價。
活動3草坪規(guī)劃問題的延伸
放手給學(xué)生處理，以學(xué)生合作完成為主。突出利用平移變換為主的解決方式。多由學(xué)生分析不同的處理方法。
活動4課堂回眸
本課小結(jié)從內(nèi)容、應(yīng)用、數(shù)學(xué)思想方法，獲取知識的途徑等幾個方面展開，既有知識的總結(jié)，又有方法的提煉，這樣對于學(xué)生學(xué)知識，用知識是有很大的促進(jìn)的。方法以學(xué)生暢談收獲為主。
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