排列組合教案

時間：2025-02-17 22:18:54 教案

排列組合教案

　　作為一名優秀的教育工作者，時常需要用到教案，借助教案可以更好地組織教學活動。教案應該怎么寫呢？下面是小編幫大家整理的排列組合教案，僅供參考，大家一起來看看吧。

排列組合教案

排列組合教案1

　　一、課標要求：

　　1．分類加法計數原理、分步乘法計數原理

　　通過實例，總結出分類加法計數原理、分步乘法計數原理；能根據具體問題的特征，選擇分類加法計數原理或分步乘法計數原理解決一些簡單的實際問題；

　　2．排列與組合

　　通過實例，理解排列、組合的概念；能利用計數原理推導排列數公式、組合數公式，并能解決簡單的實際問題；

　　3．二項式定理

　　能用計數原理證明二項式定理；會用二項式定理解決與二項展開式有關的簡單問題。

　　二、命題走向

　　本部分內容主要包括分類計數原理、分步計數原理、排列與組合、二項式定理三部分；考查內容：（1）兩個原理；（2）排列、組合的概念，排列數和組合數公式，排列和組合的應用；（3）二項式定理，二項展開式的通項公式，二項式系數及二項式系數和。

　　排列、組合不僅是高中數學的重點內容，而且在實際中有廣泛的應用，因此新高考會有題目涉及；二項式定理是高中數學的重點內容，也是高考每年必考內容，新高考會繼續考察。

　　考察形式：單獨的考題會以選擇題、填空題的形式出現，屬于中低難度的題目，排列組合有時與概率結合出現在解答題中難度較小，屬于高考題中的中低檔題目。

　　三、要點精講

　　1．排列、組合、二項式知識相互關系表

　　2．兩個基本原理

　�。�1）分類計數原理中的分類；

　　（2）分步計數原理中的分步；

　　正確地分類與分步是學好這一章的關鍵。

　　3．排列

　�。�1）排列定義，排列數

　　（2）排列數公式：系= =n·(n－1)…(n－m+1)；

　　（3）全排列列：=n!；

　�。�4）記住下列幾個階乘數：1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，6！=720；

　　4．組合

　�。�1）組合的定義，排列與組合的區別；

　�。�2）組合數公式：Cnm= =；

　�。�3）組合數的性質

　�、貱nm=Cnn-m；②；③rCnr=n·Cn-1r-1；④Cn0+Cn1+…+Cnn=2n；⑤Cn0-Cn1+…+(-1)nCnn=0，即Cn0+Cn2+Cn4+…=Cn1+Cn3+…=2n-1；

　　5．二項式定理

　�。�1）二項式展開公式：(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+…+Cnkan-kbk+…+Cnnbn；

　�。�2）通項公式：二項式展開式中第k+1項的通項公式是：Tk+1=Cnkan-kbk；

　　6．二項式的應用

　　（1）求某些多項式系數的和；

　�。�2）證明一些簡單的組合恒等式；

　　（3）證明整除性。①求數的末位；②數的整除性及求系數；③簡單多項式的整除問題；

　�。�4）近似計算。當|x|充分小時，我們常用下列公式估計近似值：

　�、�(1+x)n≈1+nx；②(1+x)n≈1+nx+ x2；（5）證明不等式。

　　四、典例解析

　　題型1：計數原理

　　例1．完成下列選擇題與填空題

　�。�1）有三個不同的信箱，今有四封不同的信欲投其中，則不同的投法有種。

　　A．81 B．64 C．24 D．4

　�。�2）四名學生爭奪三項冠軍，獲得冠軍的可能的種數是（）

　　A．81 B．64 C．24 D．4

　�。�3）有四位學生參加三項不同的競賽，①每位學生必須參加一項競賽，則有不同的參賽方法有；

　�、诿宽椄傎愔辉S有一位學生參加，則有不同的參賽方法有；

　　③每位學生最多參加一項競賽，每項競賽只許有一位學生參加，則不同的參賽方法有。

　　例2．（06江蘇卷）今有2個紅球、3個黃球、4個白球，同色球不加以區分，將這9個球排成一列有種不同的方法（用數字作答）。

　　點評：分步計數原理與分類計數原理是排列組合中解決問題的重要手段，也是基礎方法，在高中數學中，只有這兩個原理，尤其是分類計數原理與分類討論有很多相通之處，當遇到比較復雜的問題時，用分類的方法可以有效的將之化簡,達到求解的目的.。

　　題型2：排列問題

　　例3．（1）（20xx四川理卷13）展開式中的系數為?______ _________。

　　【點評】：此題重點考察二項展開式中指定項的系數，以及組合思想；

　�。�2）．20xx湖南省長沙云帆實驗學校理科限時訓練

　　若n展開式中含項的系數與含項的系數之比為－5，則n等于（）

　　A．4 B．6 C．8 D．10

　　點評：合理的應用排列的公式處理實際問題，首先應該進入排列問題的情景，想清楚我處理時應該如何去做。

　　例4．（1）用數字0，1，2，3，4組成沒有重復數字的五位數，則其中數字1，2相鄰的偶數有個（用數字作答）；

　　（2）電視臺連續播放6個廣告，其中含4個不同的商業廣告和2個不同的公益廣告，要求首尾必須播放公益廣告，則共有種不同的播放方式（結果用數值表示）.

　　點評：排列問題不可能解決所有問題，對于較復雜的問題都是以排列公式為輔助。

　　題型三：組合問題

　　例5．荊州市20xx屆高中畢業班質量檢測（Ⅱ）

　　（1）將4個相同的白球和5個相同的黑球全部放入3個不同的盒子中，每個盒子既要有白球，又要有黑球，且每個盒子中都不能同時只放入2個白球和2個黑球，則所有不同的放法種數為（C）A.3 B.6 C.12 D.18

　　（2）將4個顏色互不相同的球全部放入編號為1和2的兩個盒子里，使得放入每個盒子里的球的個數不小于該盒子的編號，則不同的放球方法有（）

　　A．10種B．20種C．36種D．52種

　　點評：計數原理是解決較為復雜的排列組合問題的基礎，應用計數原理結合

　　例6．（1）某校從8名教師中選派4名教師同時去4個邊遠地區支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，則不同的選派方案共有種；

　　（2）5名志愿者分到3所學校支教，每個學校至少去一名志愿者，則不同的分派方法共有（）

　�。ˋ）150種(B)180種(C)200種(D)280種

　　點評：排列組合的交叉使用可以處理一些復雜問題，諸如分組問題等；

　　題型4：排列、組合的綜合問題

　　例7．平面上給定10個點，任意三點不共線，由這10個點確定的直線中，無三條直線交于同一點（除原10點外），無兩條直線互相平行。求：（1）這些直線所交成的點的個數（除原10點外）。（2）這些直線交成多少個三角形。

　　點評：用排列、組合解決有關幾何計算問題，除了應用排列、組合的各種方法與對策之外，還要考慮實際幾何意義。

　　例8．已知直線ax+by+c=0中的a,b,c是取自集合{－3,－2,－1,0,1,2,3}中的3個不同的元素，并且該直線的傾斜角為銳角，求符合這些條件的直線的條數。

　　點評：本題是1999年全國高中數學聯賽中的一填空題，據抽樣分析正確率只有0.37。錯誤原因沒有對c=0與c≠0正確分類；沒有考慮c=0中出現重復的直線。

　　題型5：二項式定理

　　例9．（1）（20xx湖北卷）

　　在的展開式中，的冪的指數是整數的項共有

　　A．3項B．4項C．5項D．6項

　　（2）的展開式中含x的正整數指數冪的項數是

　�。ˋ）0（B）2（C）4（D）6

　　點評：多項式乘法的進位規則。在求系數過程中,盡量先化簡，降底數的運算級別,盡量化成加減運算，在運算過程可以適當注意令值法的運用，例如求常數項，可令.在二項式的展開式中，要注意項的系數和二項式系數的區別。

　　例10．（20xx湖南文13）

　　記的展開式中第m項的系數為，若，則=____5______.

　　題型6：二項式定理的應用

　　例11．（1）求4×6n+5n+1被20除后的余數；

　�。�2）7n+Cn17n-1+Cn2·7n-2+…+Cnn-1×7除以9，得余數是多少？

　　（3）根據下列要求的精確度，求1.025的近似值。①精確到0.01；②精確到0.001。

　　點評：（1）用二項式定理來處理余數問題或整除問題時，通常把底數適當地拆成兩項之和或之差再按二項式定理展開推得所求結論；

　　（2）用二項式定理來求近似值，可以根據不同精確度來確定應該取到展開式的第幾項。

　　五、思維總結

　　解排列組合應用題的基本規律

　　1．分類計數原理與分步計數原理使用方法有兩種：①單獨使用；②聯合使用。

　　2．將具體問題抽象為排列問題或組合問題，是解排列組合應用題的關鍵一步。

　　3．對于帶限制條件的排列問題，通常從以下三種途徑考慮：

　�。�1）元素分析法：先考慮特殊元素要求，再考慮其他元素；

　�。�2）位置分析法：先考慮特殊位置的要求，再考慮其他位置；

　�。�3）整體排除法：先算出不帶限制條件的排列數，再減去不滿足限制條件的排列數。

　　4．對解組合問題，應注意以下三點：

　�。�1）對“組合數”恰當的分類計算，是解組合題的常用方法；

　�。�2）是用“直接法”還是“間接法”解組合題，其原則是“正難則反”；

　�。�3）設計“分組方案”是解組合題的關鍵所在。

排列組合教案2

　　教學內容：

　　簡單的排列組合

　　教學目標：

　　1．使學生通過觀察、猜測、實驗、驗證等活動，找出簡單事件的排列數或組合數。

　　2．培養學生有序地、全面地思考問題的意識和習慣。

　　教學過程：

　　1．借助操作活動或學生易于理解的事例來幫助學生找出組合數。師生共同分析練習二十五第1題。讓學生小組討論，充分發表自己的意見。

　　2．利用直觀圖示幫助學生有序地、不重不漏地找出早餐搭配的組合數。

　　3、出示練習二十五第3題。

　　學生看題后，四人小組討論出有多少種求組合數的方法。

　　4、學生匯報。

　�。�1）圖示表示法（兩種）。引導學生用畫簡圖的方式來表示抽象的數學知識。

　　（2）其他的'方法，例如聰聰或明明分別可以和每一個小朋友合影（分步時，可以把確定聰聰作為第一步，也可以把確定明明作為第一步），教學時充分發揮學生的創造性。至于學生用哪種方法求出來，都沒關系。但要引導學生思考如何才能不重不漏，發展學生有序地思考問題的意識和能力。

　�。�3）學生自己用圖示表示時，可以很開放，比如，可以用正方形表示聰聰，圓形表示明明，并分別在正方形和圓形里標上序號。實際這是發展學生用數學化的符號表示具體事件的能力的一個體現。

　�。�4）如果學生用簡圖的方式來表示有困難，也可以讓學生回憶一下二年級上冊的例子或借助學具卡片擺一擺。

　　2．“做一做”

　　（1）練習二十五第7題。

　　通過活動的方式讓學生不重不漏地把所有取錢的情況寫出來。

　�。�2）練習二十五第9題。

　　用兩種圖示法表示兩兩組合的方式（比較簡單的兩種方式）。在教學中也要允許有的學生把所有的情況逐一羅列出來，只要他通過自己的方法探索出所有的組合數，都是應該鼓勵的。

排列組合教案3

　　教學內容背景材料：

　　義務教育課程標準實驗教科書（人教版）二年級上冊第八單元的排列與組合

　　教學目標：

　　1、通過觀察、猜測、操作等活動，找出最簡單的事物的排列數和組合數。

　　2、經歷探索簡單事物排列與組合規律的過程。

　　3、培養學生有序地全面地思考問題的意識。

　　4、感受數學與生活的緊密聯系，培養學生學習數學的興趣和用數學方法解決問題的意識。

　　教學重點：

　　經歷探索簡單事物排列與組合規律的過程。

　　教學難點：

　　初步理解簡單事物排列與組合的不同。

　　教具準備：

　　乒乓球、衣服圖片、紙箱、每組三張數字卡片、吹塑紙數字卡片。

　　一、情境導入，展開教學

　　今天，王老師要帶大家去“數學廣角”里做游戲，可是，我把游戲要用的材料都放在這個密碼包里。你們想解開密碼取出游戲材料嗎？（想）我給大家提供解碼的3個信息。

　　1．好，接下來老師提供解碼的第一個信息：密碼是一個兩位數。（學生在兩位數里猜）（你們猜的對不對呢？請聽第二個解碼信息）

　　2．下面，提供解碼的第二個信息：密碼是由2和7組成的（學生說出27和72）。能說說看你是怎么想的嗎？

　　3．下面，提供解碼的第三個信息：剛才說了密碼可能是27也可能是72。其實這個密碼和老師的年齡有關。哪個才是真正的密碼是？（學生說出是27）到底是不是27呢？請看（教師出示密碼）。真的是27，恭喜大家解碼成功！

　　二、多種活動，體驗新知

　　1、感知排列

　　師：請小朋友先到“數字宮”做個排數字游戲，好嗎？這有兩張數字卡片（1 、2）（老師從密碼包里拿出），你能擺出幾個兩位數？（用數字卡擺一擺）

　　生：我擺了兩個不同的數字12和21。（教師板書）

　　師：同學們想得真好。我又請來了一位好朋友數字3，現在有三個數字1、2、3，讓大家寫兩位數，你們不會了吧？（會）別吹牛�。ㄕ娴臅┖�，下面大家分組合作，組長記錄�？纯茨銈兡軌驅懗鰩讉€不同的兩位數，注意不要重復，如果你覺得直接寫有困難的話可以借助手中的數字卡片擺一擺。好，開始。

　　學生活動教師巡視并參與學生活動。（學生所寫的個數可能不一樣，有多有少，找幾份重復的'或個數少的展示。）哪組同學來給大家匯報一下。（教師板書結果。）有沒有需要補充的呀？

　　2、探討排列方法。

　　有的小組擺出4個不同的兩位數，有的小組擺出6個不同的兩位數，有什么好的方法能保證既不重復，也不漏掉數呢？還請大家分組討論�？匆豢茨慕M同學的方法最好�。ㄐ〗M討論，分組交流，學生總結方法。）哪組同學來給大家匯報一下你們的想法？

　　方法1：我擺出12，然后再顛倒就是21，再擺23，顛倒后就是32，再擺13，顛倒后就是31，一共可以擺出6個兩位數。

　　方法2：我先把數字1放在十位上，然后把數字2和3分別放在個位組成12和13；我再把數字2放在十位上，然后把數字1和3分別放在個位組成21和23；我再把數字3放在十位上，然后把數字1和2分別放在個位上組成31和32，一共擺出了6個兩位數。

　　3、老師和學生共同評議方法：讓學生選擇自己喜歡的方法再擺一擺，學生試著總結。（如果學生說不出方法2，老師就直接告訴學生）

　　3、感知組合。

　　師：你們真是一群善于動腦的好孩子。來，咱們握握手，祝賀祝賀！加油！

排列組合教案4

　　數學廣角是義務教育課程標準實驗教科書二年級上冊開始新增設的一個單元，是新教材在向學生滲透數學思想方法方面做出的新嘗試。本課內容重在向學生滲透簡單的排列組合的數學思想方法，并初步培養學生有順序地、全面地思考問題的意識。排列組合的思想方法不僅應用廣泛，而且是高年級學習概率統計知識的基礎，同時也是發展學生抽象能力和邏輯思維能力的好素材。

　　本課內容是學生在小學階段初次接觸有關排列組合的知識，但是在日常生活中，有很多事情是用排列組合來解決的，如：衣服的搭配、路線選擇等等，作為二年級的學生，已經有了一定的生活經驗，因此在學習中安排生動有趣的活動幫助學生感知排列組合的知識。

　　教必有法而教無定法，只有方法得當，才會有效。根據本課教學內容的特點和學生的思維特點，我采用情境教學法、操作發現法、直觀演示的教學方法。為使學生能夠有效地學習，主動的建構知識。我采用合作交流法、動手操作法、自主探究的學習方法，讓學生在一系列活動中感知排列組合。旨在凸顯三模小組化的教學模式，從根本上改變傳統教育重教師教輕學生學的做法，突出學生的主體地位，培養學生自主學習能力。讓學生去自學、去嘗試、去探究、去發現、去解決。在課堂教學中，實現了以下三種轉變：創境引題變說出為引入；先學后教變被動為主動；展示反饋變學會為會學。

　　教學過程設計：

　　（一）創境引題變說出為引入

　　藍貓是學生喜歡的形象，本課我設計了藍貓帶大家去數學廣角游玩的情境并貫穿全課。

　　談話導入：小朋友，今天藍貓要帶我們一起到數學廣角參觀，你們高興嗎？哎，快看，數學廣角的大門是有密碼鎖的，要進去必須得到密碼才行。這時有學生可能會發出疑問或者提出問題：密碼是幾位數啊？密碼符合什么條件啊？。藍貓告訴大家：密碼是1和2組成的兩位數，學生很快就找出了答案：12或21，但不能確定是哪個，同學們，密碼是10-20之間，學生判斷出是12。我對判斷出是12的學生進行表揚和獎勵，讓他們一開始上課就獲得了成功的體驗。這樣設計調動了學生的學習興趣，營造了活躍的課堂氣氛，又在破譯密碼的過程中，滲透了簡單的排列知識，為新課的學習做了良好的鋪墊。

　　（二）先學后教變被動為主動

　　1、小組合作學習探究用1、2、3能組成幾個不同的兩位數，感知排列知識。

　　首先出示導學案簡潔明了，為學生合作學習指明了方向，讓學生結合導學案先學。這時學生小組合作拿出數字卡片，在小組內擺一擺、寫一寫、說一說，并記錄下結果。給學生一個自主學習的空間，教師在輔導過程中能夠了解學生的學習情況，為后面的交流展示做好準備。而我則重點指導學生要邊擺邊說，培養學生動手操作、動口表達、動腦思考的有機結合。接著鼓勵學生小組一起上臺展示，在展示時，有的學生講，有的學生寫，其他成員補充，這樣體現了小組合作的重要性。教師故意選擇了三個不同方法的小組展示，根據學生的交流匯報板書三種情況：（1）固定排頭的方法12、13、21、23、31、32；

　　（2）固定排尾的方法21、31、12、32、13、23；

　�。�3）個位十位交換位置的方法12、21、13、31、23、32。通過對比交流，發現既不重復也不遺漏的應該是6個，我接著追問：怎樣才能做到即不重復、又不遺漏的寫出這6個數呢？這時學生各抒己見，說出自己的好辦法，我對學生的方法加以肯定并表揚：你們的方法真好，我們只要按照一定的順序去寫，就不會重復和遺漏了，并將其概括為：有序列舉，這是一次數學思想方法的滲透，也是本課教學的重點。為了突破出這個教學重點并讓學生充分感受有序列舉的好處，我接著讓學生觀察這三種方法，說一說你喜歡哪一種？為什么？通過學生的敘述加深了學生對有序列舉的感受。

　　讓學生在交流中互相學習，思維碰撞產生新的火花，發散學生思維，效果不同凡響。使學生了解不同的方法，把不同的排列進行對比，克服學生思維定式，有利于學生從多角度理解排列知識，從而深刻理解排列的內涵，揭示排列的本質，使學生對數字的排列有了一個更高層次的認識。讓學生當小老師上臺展示交流，既可以鍛煉這部分學生的'膽量，又借學生之口來講解老師要講的內容，臺下學生聽得更認真，同時能讓老師站在學生的角度觀察思考，進而進行查漏補缺，釋疑解惑，重點講解，難點辨析，這樣老師教的輕松，學生學得扎實。而且因為學生自已整理出來的知識結構，往往是最貼切學生的認知能力的，從中也最能暴露學生知識的盲點，有助于教師的矯正。這樣的教學利于學生主體性地發揮，把學習的主動權還給學生，讓學生在平等交流中體驗互助合作的神奇，完善健康的人格個性。在這一環節領袖兒童脫穎而出。

　　2、小組合作握手游戲，感知組合知識。

　　承上一活動，門終于開了同學互相握手表示祝賀，從而引出：三個人之間可以握幾次手呢？先讓學生猜猜看？經過上面的學習，學生可能會猜是6次，也有的可能猜是3次，到底是幾次呢？學生親自握手試一試！此時我也走下講臺參與到學生的活動中，并重點指導有順序的握手。小組活動結束后，請一小組上臺展示握手情況，在鞏固了有序思考問題的同時，引導學生用圖示來表示握手的方法。這樣設計，既能使學生在握手的游戲中體驗知識的形成過程，又可以作為課中活動，使學生在此放松，達到一舉兩得的效果。另外，用圖示來抽象形象的表示握手的方法，這又是一次數學思想方法的滲透。

　　3、對比發現，區分排列組合。

　　在上一個環節中，學生通過握手游戲，對組合的規律進行了本質的探究，在活動中已經感受到了排列與組合的不同。我以一個問題引入同樣是3，為什么3個數字可以擺6個兩位數，而3個人卻只能握3次手？這個問題是本課教學的難點，我采取的是在操作活動中對比感知排列與組合的不同，在同伴的交流和啟發中發現，兩個數字交換位置變成了兩個數，而握手時兩個人即使換位置還是這兩個人，所以就是一次。由于數學知識很多時候都顯得枯燥無味，在這兒我利用兒歌朗朗上口的特點，學生更容易記住，編了一個溫馨提示。那么我也及時的做出小結并揭題：前面擺卡片的情況是與順序有關的叫排列，而握手的情況是與順序沒有關系的叫組合。從而突破了教學的難點。

　　（三）展示反饋變學會為會學

　　根據低年級學生的心理特征和本節課的教學重難點，我在練習設計時注重了目標明確、重點突出、形式多樣、有趣味性、聯系生活，從而體會生活中處處有數學。仍然圍繞藍貓問題為情境，以搭配、起名、走路、號碼為載體，以訓練為主線，以培養領袖兒童各種能力為目的，給學生搭建了一個展示反饋的平臺，讓所學的排列組合知識在這里得到應用，讓學生的參與熱情在這里得到高漲，讓整節課在這里得到升華。

　　1、搭配問題

　　藍貓想請大家為它搭配一套漂亮的衣服，用一件上裝搭配一件下裝能搭配幾套呢？將衣服圖片貼在黑板上，學生感覺很新鮮，積極參與，學生說的同時師連線其實也在滲透一種作圖方法，并且用兩種顏色的筆區分開來，潛移默化的讓學生感受固定上衣的方法，老師并不滿足現狀，而是趁熱打鐵追問到：除此之外，還有哪些方法？進而啟發得出還有固定下裝的方法。這種發散問題主要是培養學生從多角度、多方面、多領域去認識客觀事物。

　　2、起名問題

　　藍貓請大家用孫、行、者這三個字給孫悟空取名字，看能給它取多少個名字？我讓三個學生戴生字頭飾排隊，學生頓時興趣高漲，在排隊游戲中鞏固排列知識。

　　3、走路問題

　　藍貓從學校出發經過數學廣角回到家有幾種不同的走法?你會選哪條？這也是一個組合問題，但是培養了學生的一種生活經驗直路最近。

　　4、號碼問題

　　藍貓的電話號碼后三位是1、8、9組成的，可能是什么?這是一個貼近生活的排列問題，也是一個拔高題，與三年級的知識銜接在一起。

　　另外，我在板書設計時，力求體現知識性、簡潔性、藝術性，使學生一目了然。

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