求值域的方法總結(jié)

時間：2024-10-20 04:38:20 總結(jié)

求值域的方法總結(jié)

　　函數(shù)值域和定義域的大小,是高中數(shù)學(xué)常考的一個知識點,下面是小編幫大家整理的求值域的方法總結(jié)，希望大家喜歡。

求值域的方法總結(jié)

　　一.觀察法

　　通過對函數(shù)定義域、性質(zhì)的觀察，結(jié)合函數(shù)的解析式，求得函數(shù)的值域。

　　例1求函數(shù)y=3+√(2-3x)的值域高三。

　　點撥：根據(jù)算術(shù)平方根的性質(zhì)，先求出√(2-3x)的值域。

　　解：由算術(shù)平方根的性質(zhì)，知√(2-3x)≥0，

　　故3+√(2-3x)≥3。

　　∴函數(shù)的知域為.

　　點評：算術(shù)平方根具有雙重非負(fù)性，即：(1)被開方數(shù)的非負(fù)性，(2)值的非負(fù)性。

　　本題通過直接觀察算術(shù)平方根的性質(zhì)而獲解，這種方法對于一類函數(shù)的值域的求法，簡捷明了，不失為一種巧法。

　　練習(xí)：求函數(shù)y=[x](0≤x≤5)的值域。(答案：值域為：{0，1，2，3，4，5｝)

　　二.反函數(shù)法

　　當(dāng)函數(shù)的反函數(shù)存在時，則其反函數(shù)的定義域就是原函數(shù)的值域。

　　例2求函數(shù)y=(x+1)/(x+2)的值域。

　　點撥：先求出原函數(shù)的反函數(shù)，再求出其定義域。

　　解：顯然函數(shù)y=(x+1)/(x+2)的反函數(shù)為:x=(1-2y)/(y-1),其定義域為y≠1的實數(shù),故函數(shù)y的值域為{y?y≠1,y∈R｝。

　　點評：利用反函數(shù)法求原函數(shù)的定義域的前提條件是原函數(shù)存在反函數(shù)。這種方法體現(xiàn)逆向思維的思想，是數(shù)學(xué)解題的重要方法之一。

　　練習(xí)：求函數(shù)y=(10x+10-x)/(10x-10-x)的值域。(答案：函數(shù)的值域為{y?y<-1或y>1｝)

　　三.配方法

　　當(dāng)所給函數(shù)是二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)的復(fù)合函數(shù)時,可以利用配方法求函數(shù)值域

　　例3：求函數(shù)y=√(-x2+x+2)的值域。

　　點撥：將被開方數(shù)配方成完全平方數(shù)，利用二次函數(shù)的最值求。

　　解：由-x2+x+2≥0,可知函數(shù)的定義域為x∈[-1，2]。此時-x2+x+2=-(x-1/2)2+9/4∈[0，9/4]

　　∴0≤√-x2+x+2≤3/2,函數(shù)的值域是[0,3/2]

　　點評：求函數(shù)的值域不但要重視對應(yīng)關(guān)系的應(yīng)用,而且要特別注意定義域?qū)χ涤虻闹萍s作用。配方法是數(shù)學(xué)的一種重要的思想方法。

　　練習(xí)：求函數(shù)y=2x-5+√15-4x的值域.(答案:值域為{y?y≤3})

　　四.判別式法

　　若可化為關(guān)于某變量的二次方程的分式函數(shù)或無理函數(shù),可用判別式法求函數(shù)的值域。

　　例4求函數(shù)y=(2x2-2x+3)/(x2-x+1)的值域。

　　點撥：將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為自變量的二次方程，應(yīng)用二次方程根的判別式，從而確定出原函數(shù)的值域。

　　解：將上式化為(y-2)x2-(y-2)x+(y-3)=0(*)

　　當(dāng)y≠2時,由Δ=(y-2)2-4(y-2)x+(y-3)≥0，解得：2

　　當(dāng)y=2時,方程(*)無解。∴函數(shù)的值域為2

　　點評：把函數(shù)關(guān)系化為二次方程F(x,y)=0，由于方程有實數(shù)解，故其判別式為非負(fù)數(shù)，可求得函數(shù)的值域。常適應(yīng)于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函數(shù)。

【求值域的方法總結(jié)】相關(guān)文章：