二次函數解題方法總結
二次函數是初中重要的數學知識點，本文就來分享一篇二次函數解題方法總結，希望對大家能有所幫助！
1.求證“兩線段相等”的問題：
2.“平行于y軸的動線段長度的最大值”的問題：
由于平行于y軸的線段上各個點的橫坐標相等(常設為t)，借助于兩個端點所在的函數圖象解析式，把兩個端點的縱坐標分別用含有字母t的代數式表示出來，再由兩個端點的高低情況，運用平行于y軸的線段長度計算公式，把動線段的長度就表示成為一個自變量為t，且開口向下的二次函數解析式，利用二次函數的性質，即可求得動線段長度的最大值及端點坐標。
3.求一個已知點關于一條已知直線的對稱點的坐標問題：
先用點斜式(或稱K點法)求出過已知點，且與已知直線垂直的直線解析式，再求出兩直線的交點坐標，最后用中點坐標公式即可。
4.“拋物線上是否存在一點，使之到定直線的距離最大”的問題：
(方法1)先求出定直線的斜率，由此可設出與定直線平行且與拋物線相切的直線的解析式(注意該直線與定直線的斜率相等，因為平行直線斜率(k)相等)，再由該直線與拋物線的解析式組成方程組，用代入法把字母y消掉，得到一個關于x的的一元二次方程，由題有△=-4ac=0(因為該直線與拋物線相切，只有一個交點，所以-4ac=0)從而就可求出該切線的解析式，再把該切線解析式與拋物線的解析式組成方程組，求出x、y的值，即為切點坐標，然后再利用點到直線的距離公式，計算該切點到定直線的距離，即為最大距離。
(方法2)該問題等價于相應動三角形的面積最大問題，從而可先求出該三角形取得最大面積時，動點的坐標，再用點到直線的距離公式，求出其最大距離。
(方法3)先把拋物線的方程對自變量求導，運用導數的幾何意義，當該導數等于定直線的斜率時，求出的點的坐標即為符合題意的點，其最大距離運用點到直線的距離公式可以輕松求出。
5.常數問題：
(1)點到直線的距離中的常數問題：
“拋物線上是否存在一點，使之到定直線的距離等于一個固定常數”的問題：
先借助于拋物線的解析式，把動點坐標用一個字母表示出來，再利用點到直線的距離公式建立一個方程，解此方程，即可求出動點的橫坐標，進而利用拋物線解析式，求出動點的縱坐標，從而拋物線上的動點坐標就求出來了。
(2)三角形面積中的常數問題：
“拋物線上是否存在一點，使之與定線段構成的動三角形的面積等于一個定常數”的問題：
先求出定線段的長度，再表示出動點(其坐標需用一個字母表示)到定直線的距離，再運用三角形的面積公式建立方程，解此方程，即可求出動點的橫坐標，再利用拋物線的解析式，可求出動點縱坐標，從而拋物線上的動點坐標就求出來了。
6.“在定直線(常為拋物線的對稱軸，或x軸或y軸或其它的定直線)上是否存在一點，使之到兩定點的距離之和最小”的問題：
先求出兩個定點中的任一個定點關于定直線的對稱點的坐標，再把該對稱點和另一個定點連結得到一條線段，該線段的長度〈應用兩點間的距離公式計算〉即為符合題中要求的最小距離，而該線段與定直線的交點就是符合距離之和最小的點，其坐標很易求出(利用求交點坐標的方法)。
7.三角形周長的“最值(最大值或最小值)”問題：
“在定直線上是否存在一點，使之和兩個定點構成的三角形周長最小”的問題(簡稱“一邊固定兩邊動的問題)：
由于有兩個定點，所以該三角形有一定邊(其長度可利用兩點間距離公式計算)，只需另兩邊的和最小即可。
8.三角形面積的最大值問題：
①“拋物線上是否存在一點，使之和一條定線段構成的三角形面積最大”的問題(簡稱“一邊固定兩邊動的問題”)：
(方法1)先利用兩點間的距離公式求出定線段的長度;然后再利用上面3的方法，求出拋物線上的動點到該定直線的最大距離。最后利用三角形的面積公式底·高1/2。即可求出該三角形面積的最大值，同時在求解過程中，切點即為符合題意要求的點。
(方法2)過動點向y軸作平行線找到與定線段(或所在直線)的交點，從而把動三角形分割成兩個基本模型的三角形，動點坐標一母示后，
進一步可得到，轉化為一個開口向下的二次函數問題來求出最大值。
②“三邊均動的動三角形面積最大”的問題(簡稱“三邊均動”的問題)：
先把動三角形分割成兩個基本模型的三角形(有一邊在x軸或y軸上的三角形，或者有一邊平行于x軸或y軸的三角形，稱為基本模型的三角形)面積之差，設出動點在x軸或y軸上的點的坐標，而此類題型，題中一定含有一組平行線，從而可以得出分割后的一個三角形與圖中另一個三角形相似(常為圖中最大的那一個三角形)。利用相似三角形的性質(對應邊的比等于對應高的比)可表示出分割后的一個三角形的高。從而可以表示出動三角形的面積的一個開口向下的二次函數關系式，相應問題也就輕松解決了。
9.“一拋物線上是否存在一點，使之和另外三個定點構成的四邊形面積最大的問題”：
由于該四邊形有三個定點，從而可把動四邊形分割成一個動三角形與一個定三角形(連結兩個定點，即可得到一個定三角形)的面積之和，所以只需動三角形的面積最大，就會使動四邊形的面積最大，而動三角形面積最大值的求法及拋物線上動點坐標求法與7相同。
10、“定四邊形面積的求解”問題：
有兩種常見解決的方案：
方案(一)：連接一條對角線，分成兩個三角形面積之和;
方案(二)：過不在x軸或y軸上的四邊形的一個頂點，向x軸(或y軸)作垂線，或者把該點與原點連結起來，分割成一個梯形(常為直角梯形)和一些三角形的面積之和(或差)，或幾個基本模型的三角形面積的和(差)
11.“兩個三角形相似”的問題：
12.“某函數圖象上是否存在一點，使之與另兩個定點構成等腰三角形”的問題：
首先弄清題中是否規定了哪個點為等腰三角形的頂點。(若某邊底，則只有一種情況;若某邊為腰，有兩種情況;若只說該三點構成等腰三角形，則有三種情況)。先借助于動點所在圖象的解析式，表示出動點的坐標(一母示)，按分類的情況，分別利用相應類別下兩腰相等，使用兩點間的距離公式，建立方程。解出此方程，即可求出動點的橫坐標，再借助動點所在圖象的函數關系式，可求出動點縱坐標，注意去掉不合題意的點(就是不能構成三角形這個題意)。
13、“某圖象上是否存在一點，使之與另外三個點構成平行四邊形”問題：
這類問題，在題中的四個點中，至少有兩個定點，用動點坐標“一母示”分別設出余下所有動點的坐標(若有兩個動點，顯然每個動點應各選用一個參數字母來“一母示”出動點坐標)，任選一個已知點作為對角線的起點，列出所有可能的對角線(顯然最多有3條)，此時與之對應的另一條對角線也就確定了，然后運用中點坐標公式，求出每一種情況兩條對角線的中點坐標，由平行四邊形的判定定理可知，兩中點重合，其坐標對應相等，列出兩個方程，求解即可。
進一步有：
①若是否存在這樣的動點構成矩形呢?先讓動點構成平行四邊形，再驗證兩條對角線相等否?若相等，則所求動點能構成矩形，否則這樣的動點不存在。
②若是否存在這樣的動點構成棱形呢?先讓動點構成平行四邊形，再驗證任意一組鄰邊相等否?若相等，則所求動點能構成棱形，否則這樣的動點不存在。
③若是否存在這樣的動點構成正方形呢?先讓動點構成平行四邊形，再驗證任意一組鄰邊是否相等?和兩條對角線是否相等?若都相等，則所求動點能構成正方形，否則這樣的動點不存在。
14.“拋物線上是否存在一點，使兩個圖形的面積之間存在和差倍分關系”的問題：(此為“單動問題”〈即定解析式和動圖形相結合的問題〉，后面的19實為本類型的特殊情形。)
先用動點坐標“一母示”的方法設出直接動點坐標，分別表示(如果圖形是動圖形就只能表示出其面積)或計算(如果圖形是定圖形就計算出它的具體面積)，然后由題意建立兩個圖形面積關系的一個方程，解之即可。(注意去掉不合題意的點)，如果問題中求的是間接動點坐標，那么在求出直接動點坐標后，再往下繼續求解即可。
15.“某圖形〈直線或拋物線〉上是否存在一點，使之與另兩定點構成直角三角形”的問題：
若夾直角的兩邊與y軸都不平行：先設出動點坐標(一母示)，視題目分類的情況，分別用斜率公式算出夾直角的兩邊的斜率，再運用兩直線(沒有與y軸平行的直線)垂直的斜率結論(兩直線的斜率相乘等于-1)，得到一個方程，解之即可。
若夾直角的兩邊中有一邊與y軸平行，此時不能使用斜率公式。補救措施是：過余下的那一個點(沒在平行于y軸的那條直線上的點)直接向平行于y的直線作垂線或過直角點作平行于y軸的直線的垂線與另一相關圖象相交，則相關點的坐標可輕松搞定。
16.“某圖象上是否存在一點，使之與另兩定點構成等腰直角三角形”的問題。
①若定點為直角頂點，先用k點法求出另一直角邊所在直線的解析式(如斜率不存在，根據定直角點，可以直接寫出另一直角邊所在直線的方程)，利用該解析式與所求點所在的圖象的解析式組成方程組，求出交點坐標，再用兩點間的距離公式計算出兩條直角邊等否?若等，該交點合題，反之不合題，舍去。
②若動點為直角頂點：先利用k點法求出定線段的中垂線的解析式，再把該解析式與所求點所在圖象的解析式組成方程組，求出交點坐標，再分別計算出該點與兩定點所在的兩條直線的斜率，把這兩個斜率相乘，看其結果是否為-1?若為-1，則就說明所求交點合題;反之，舍去。
17.“題中含有兩角相等，求相關點的坐標或線段長度”等的問題：
題中含有兩角相等，則意味著應該運用三角形相似來解決，此時尋找三角形相似中的基本模型“A”或“X”是關鍵和突破口。
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