數學教案之圓、扇形、弓形的面積
圓、扇形、弓形的面積(一)
教學目標：
1、掌握扇形面積公式的推導過程，初步運用扇形面積公式進行一些有關計算；
2、通過扇形面積公式的推導，培養學生抽象、理解、概括、歸納能力和遷移能力；
3、在扇形面積公式的推導和例題教學過程中，滲透“從特殊到一般，再由一般到特殊”的辯證思想．
教學重點：扇形面積公式的導出及應用．
教學難點：對圖形的分析．
教學活動設計：
（一）復習（圓面積）
已知⊙O半徑為R，⊙O的面積S是多少？
S=πR2
我們在求面積時往往只需要求出圓的一部分面積，如圖中陰影圖形的面積．為了更好研究這樣的圖形引出一個概念．
扇形：一條弧和經過這條弧的端點的兩條半徑所組成的圖形叫做扇形．
提出新問題：已知⊙O半徑為R，求圓心角n°的扇形的面積．
（二）遷移方法、探究新問題、歸納結論
1、遷移方法
教師引導學生遷移推導弧長公式的方法步驟：
（1）圓周長C=2πR；
（2）1°圓心角所對弧長=；
（3）n°圓心角所對的弧長是1°圓心角所對的弧長的n倍；
（4）n°圓心角所對弧長=．
歸納結論：若設⊙O半徑為R， n°圓心角所對弧長l，則 （弧長公式）
2、探究新問題
教師組織學生對比研究：
（1）圓面積S=πR2；
（2）圓心角為1°的扇形的面積=；
（3）圓心角為n°的扇形的面積是圓心角為1°的扇形的面積n倍；
（4）圓心角為n°的扇形的面積=．
歸納結論：若設⊙O半徑為R，圓心角為n°的扇形的面積S扇形，則
S扇形= （扇形面積公式）
（三）理解公式
教師引導學生理解：
（1）在應用扇形的面積公式S扇形=進行計算時，要注意公式中n的意義．n表示1°圓心角的倍數，它是不帶單位的；
（2）公式可以理解記憶（即按照上面推導過程記憶）；
提出問題：扇形的面積公式與弧長公式有聯系嗎？（教師組織學生探討）
S扇形=lR
想一想：這個公式與什么公式類似？（教師引導學生進行，或小組協作研究）
與三角形的面積公式類似，只要把扇形看成一個曲邊三角形，把弧長l看作底，R看作高就行了．這樣對比，幫助學生記憶公式．實際上，把扇形的弧分得越來越小，作經過各分點的半徑，并順次連結各分點，得到越來越多的小三角形，那么扇形的面積就是這些小三角形面積和的極限．要讓學生在理解的基礎上記住公式．
（四）應用
練習：1、已知扇形的圓心角為120°，半徑為2，則這個扇形的面積，S扇=____．
2、已知扇形面積為 ，圓心角為120°，則這個扇形的半徑R=____．
3、已知半徑為2的扇形，面積為 ，則它的'圓心角的度數=____．
4、已知半徑為2cm的扇形，其弧長為 ，則這個扇形的面積，S扇=____．
5、已知半徑為2的扇形，面積為 ，則這個扇形的弧長=____．
（ ，2，120°， ， ）
例1、已知正三角形的邊長為a，求它的內切圓與外接圓組成的圓環的面積．
學生獨立完成，對基礎較差的學生教師指導
（1）怎樣求圓環的面積？
（2）如果設外接圓的半徑為R，內切圓的半徑為r， R、r與已知邊長a有什么聯系？
解：設正三角形的外接圓、內切圓的半徑分別為R，r，面積為S1、S2．
S=．
∵ ，∴S=．
說明：要注意整體代入．
對于教材中的例2，可以采用典型例題中第4題，充分讓學生探究．
課堂練習：教材P181練習中2、4題．
（五）總結
知識：扇形及扇形面積公式S扇形= ，S扇形=lR．
方法能力：遷移能力，對比方法；計算能力的培養．
（六）作業 教材P181練習1、3；P187中10．
圓、扇形、弓形的面積(二)
教學目標：
1、在復習鞏固圓面積、扇形面積的計算的基礎上，會計算弓形面積；
2、培養學生觀察、理解能力，綜合運用知識分析問題和解決問題的能力；
3、通過面積問題實際應用題的解決，向學生滲透理論聯系實際的觀點．
教學重點：扇形面積公式的導出及應用．
教學難點：對圖形的分解和組合、實際問題數學模型的建立．
教學活動設計：
（一）概念與認識
弓形：由弦及其所對的弧組成的圖形叫做弓形．
弦AB把圓分成兩部分，這兩部分都是弓形．弓形是一個最簡單的組合圖形之一．
（二）弓形的面積
提出問題：怎樣求弓形的面積呢？
學生以小組的形式研究，交流歸納出結論：
（1）當弓形的弧小于半圓時，弓形的面積等于扇形面積與三角形面積的差；
（2）當弓形的弧大于半圓時，它的面積等于扇形面積與三角的面積的和；
（3）當弓形弧是半圓時，它的面積是圓面積的一半．
理解：如果組成弓形的弧是半圓，則此弓形面積是圓面積的一半；如果組成弓形的弧是劣弧則它的面積等于以此劣弧為弧的扇形面積減去三角形的面積；如果組成弓形的弧是優弧，則它的面積等于以此優弧為弧的扇形面積加上三角形的面積．也就是說：要計算弓形的面積，首先觀察它的弧屬于半圓？劣弧？優弧？只有對它分解正確才能保證計算結果的正確．
（三）應用與反思
練習：
(1)如果弓形的弧所對的圓心角為60°，弓形的弦長為a，那么這個弓形的面積等于_______；
(2)如果弓形的弧所對的圓心角為300°，弓形的弦長為a，那么這個弓形的面積等于_______．
（學生獨立完成，鞏固新知識）
例3、水平放著的圓柱形排水管的截面半徑是0.6m，其中水面高是0.3m．求截面上有水的弓形的面積．(精確到0.01m2)
教師引導學生并滲透數學建模思想，分析：
（1）“水平放著的圓柱形排水管的截面半徑是0.6m”為你提供了什么數學信息？
（2）求截面上有水的`弓形的面積為你提供什么信息？
（3）扇形、三角形、弓形是什么關系，選擇什么公式計算？
學生完成解題過程，并歸納三角形OAB的面積的求解方法．
反思：①要注重題目的信息，處理信息；②歸納三角形OAB的面積的求解方法，根據條件特征，靈活應用公式；③弓形的面積可以選用圖形分解法，將它轉化為扇形與三角形的和或差來解決．
例4、已知：⊙O的半徑為R，直徑AB⊥CD，以B為圓心，以BC為半徑作 ．求 與 圍成的新月牙形ACED的面積S．
解：∵ ，
有∵ ，
， ，
∴ ．
組織學生反思解題方法：圖形的分解與組合；公式的靈活應用．
（四）總結
1、弓形面積的計算：首先看弓形弧是半圓、優弧還是劣弧，從而選擇分解方案；
2、應用弓形面積解決實際問題；
3、分解簡單組合圖形為規則圓形的和與差．
（五）作業 教材P183練習2；P188中12．
圓、扇形、弓形的面積(三)
教學目標：
1、掌握簡單組合圖形分解和面積的求法；
2、進一步培養學生的觀察能力、發散思維能力和綜合運用知識分析問題、解決問題的能力；
3、滲透圖形的外在美和內在關系．
教學重點：簡單組合圖形的分解．
教學難點：對圖形的分解和組合．
教學活動設計：
（一）知識回顧
復習提問：1、圓面積公式是什么？2、扇形面積公式是什么？如何選擇公式？3、當弓形的弧是半圓時，其面積等于什么？4、當弓形的弧是劣弧時，其面積怎樣求？5、當弓形的弧是優弧時，其面積怎樣求？
（二）簡單圖形的分解和組合
1、圖形的組合
讓學生認識圖形，并體驗圖形的外在美，激發學生的研究興趣，促進學生的創造力．
2、提出問題：正方形的邊長為a，以各邊為直徑，在正方形內畫半圓，求所圍成的圖形(陰影部分)的面積．
以小組的形式協作研究，班內交流思想和方法，教師組織．給學生發展思維的空間，充分發揮學生的主體作用．
歸納交流結論：
方案1．S陰=S正方形-4S空白．
方案2、S陰=4S瓣=4 (S半圓-S△AOB)
=2S圓-4S△AOB=2S圓-S正方形ABCD
方案3、S陰=4S瓣=4 (S半圓-S正方形AEOF)
=2S圓-4S正方形AEOF =2S圓-S正方形ABCD
方案4、S陰=4 S半圓-S正方形ABCD
……………
反思：①對圖形的`分解不同，解題的難易程度不同，解題中要認真觀察圖形，追求最美的解法；②圖形的美也存在著內在的規律．
練習1：如圖，圓的半徑為r，分別以圓周上三個等分點為圓心，以r為半徑畫圓弧，則陰影部分面積是多少?
分析：連結OA，陰影部分可以看成由六個相同的弓形AmO組成．
解：連結AO，設P為其中一個三等分點，
連結PA、PO，則△POA是等邊三角形．
．
∴
說明：① 圖形的分解與重新組合是重要方法；②本題還可以用下面方法求：若連結AB，用六個弓形APB的面積減去⊙O面積，也可得到陰影部分的面積．
練習2：教材P185練習第1題
例5、 已知⊙O的半徑為R．
（1）求⊙O的內接正三角形、正六邊形、正十二邊形的周長與⊙O直徑（2R）的比值；
（2）求⊙O的內接正三角形、正六邊形、正十二邊形的面積與圓面積的比值(保留兩位小數)．
例5的計算量較大，老師引導學生完成．并進一步鞏固正多邊形的計算知識，提高學生的計算能力．
說明：從例5(1)可以看出：正多邊形的周長與它的外接圓直徑的比值，與直徑的大小無關．實際上，古代數學家就是用逐次倍增正多邊形的邊數，使正多邊形的周長趨近于圓的周長，從而求得了π的各種近似值．從(2)可以看出，增加圓內接正多邊形的邊數，可使它的面積趨近于圓的面積
（三）總結
1、簡單組合圖形的分解；
2、進一步鞏固了正多邊形的計算以，鞏固了圓周長、弧長、圓面積、扇形面積、弓形面積的計算．
3、進一步理解了正多邊形和圓的關系定理．
（四）作業 教材P185練習2、3；P187中8、11．
探究活動
四瓣花形
在邊長為1的正方形中分別以四個頂點為圓心，以l為半徑畫弧所交成的“四瓣梅花”圖形，如圖 (1)所示．
再分別以四邊中點為圓心，以相鄰的兩邊中點連線為半徑畫弧而交成的“花形”，如圖 (12)所示．
探討：（1）兩圖中的圓弧均被互分為三等份．
（2）兩朵“花”是相似圖形．
（3）試求兩“花”面積
提示：分析與解 (1)如圖21所示，連結PD、PC，由PD=PC=DC知，∠PDC=60°．
從而，∠ADP=30°．
同理∠CDQ=30°．故∠ADP=∠CDQ=30°，即，P、Q是AC弧的三等分點．
由對稱性知，四段弧均被三等分．
如果證明了結論(2)，則圖 (12)也得相同結論．
(2)如圖（22）所示，連結E、F、G、H所得的正方形EFGH內的花形恰為圖 (1)的縮影．顯然兩“花”是相似圖形；其相似比是AB ﹕EF =﹕1．
(3)花形的面積為： ， ．
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