勾股定理教案

時間：2024-09-19 22:15:11 偲穎教案

勾股定理教案（精選17篇）

　　作為一位優秀的人民教師，時常需要用到教案，編寫教案有利于我們弄通教材內容，進而選擇科學、恰當的教學方法。寫教案需要注意哪些格式呢？下面是小編為大家收集的勾股定理教案，供大家參考借鑒，希望可以幫助到有需要的朋友。

勾股定理教案（精選17篇）

　　勾股定理教案 1

　　一、教學目標設置

　　知識與技能：

　　1、了解勾股定理的文化背景，體驗勾股定理的探索過程，了解利用拼圖驗證勾股定理的方法。

　　2、了解勾股定理的內容。

　　3、能利用已知兩邊求直角三角形另一邊的長。

　　過程與方法：

　　1、通過拼圖活動，體驗數學思維的嚴謹性，發展形象思維。

　　2、在探索活動中，學會與人合作，并能與他人交流思維的過程和探索的結果。

　　情感與態度：

　　1、通過對勾股定理歷史的了解，對比介紹我國古代和西方數學家關于勾股定理的研究，激發學生熱愛祖國悠久文化的情感，激勵學生奮發學習。

　　2、在探索勾股定理的過程中，體驗獲得結論的快樂，鍛煉克服困難的勇氣，培養合作意識和探索精神。

　　二教學重、難點

　　重點：探索和證明勾股定理難點：用拼圖方法證明勾股定理。

　　三、學情分析

　　學生對幾何圖形的觀察，幾何圖形的分析能力已初步形成。部分學生解題思維能力比較高，能夠正確歸納所學知識，通過學習小組討論交流，能夠形成解決問題的思路。

　　四、教學策略

　　本節課采用探究發現式教學，由淺入深，由特殊到一般地提出問題，鼓勵學生采用觀察分析、自主探索、合作交流的學習方法，讓學生經歷數學知識的形成與應用過程。

　　五、教學過程

　　教學環節

　　教學內容

　　活動和意圖

　　創設情境導入新課

　　以“航天員在太空中遇到外星人時，用什么語言進行溝通”導入新課，讓孩子們盡情發揮他們的想象.而華羅庚建議可以用勾股定理的圖形進行和外星人溝通，為什么呢?通過一段VCR說明原因。

　　[設計意圖]激發學生對勾股定理的興趣，從而較自然的引入課題。

　　新知探究

　　畢達哥拉斯是古希臘著名的數學家。相傳在2500年以前，他在朋友家做客時，發現朋友家用地磚鋪成的地面反映了直角三角形的.三邊的某種數量關系。

　　(1)同學們，請你也來觀察下圖中的地面，看看能發現些什么?

　　(2)你能找出圖18.1-1中正方形1、2、3面積之間的關系嗎?

　　通過講述故事來進一步激發學生學習興趣，使學生在不知不覺中進入學習的最佳狀態。

　　如圖，每個小方格代表1個單位面積，我們分別以a,b,c三邊為邊長作正方形。

　　回答以下內容：

　　(1)想一想，怎樣利用小方格計算正方形A、B、C面積?

　　(2)怎樣求出正方形面積C?

　　(3)觀察所得的各組數據，你有什么發現?

　　(4)將正方形A,B,C分別移開，你能發現直角三角形邊長a,b,c有何數量關系?

　　引導學生將邊不在格線上的圖形轉化為邊在格線上的圖形，以便于計算圖形面積.

　　問題是思維的起點”，通過層層設問，引導學生發現新知。

　　探究交流歸納

　　拼圖驗證加深理解

　　如圖，每個小方格代表1個單位面積，我們分別以a,b,c三邊為邊長作正方形。

　　回答以下內容：

　　(1)想一想，怎樣利用小方格計算正方形P、Q、R的面積?

　　(2)怎樣求出正方形面積R?

　　(3)觀察所得的各組數據，你有什么發現?

　　(4)將正方形P,Q,R分別移開，你能發現直角三角形邊長a,b,c有何數量關系?

　　由以上兩問題可得猜想：

　　直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。

　　而猜想要通過證明才能成為定理

　　活動探究：

　　(1)讓學生利用學具進行拼圖

　　(2)多媒體課件展示拼圖過程及證明過程理解數學的嚴密性。

　　從特殊的等腰直角三角形過渡到一般的直角三角形。

　　滲透從特殊到一般的數學思想.為學生提供參與數學活動的時間和空間，發揮學生的主體作用;培養學生的類比遷移能力及探索問題的能力，使學生在相互欣賞、爭辯、互助中得到提高。

　　通過這些實際操作，學生進行一步加深對數形結合的理解，拼圖也會產生感性認識，也為論證勾股定理做好準備。

　　利用分組討論，加強合作意識。

　　1、經歷所拼圖形與多媒體展示圖形的聯系與區別。

　　2、加強數學嚴密教育，從而更好地理解代數與圖形相結合

　　應用新知解決問題

　　在應用新知這個環節，我把以往的單純求解邊長之類的題目換成了幾個運用勾股定理來解決問題的古算題。

　　把生活中的實物抽象成幾何圖形，讓學生了解豐富變幻的圖形世界，培養了學生抽象思維能力，特別注重培養學生認識事物，探索問題，解決實際的能力。

　　回顧小結整體感知

　　在最后的小結中，不但對知識進行小結更對方法要進行小節，還可向學生介紹了美麗的圖案畢達哥拉斯樹，讓學生切身感受到其實數學與生活是緊密聯系的，進一步發現數學的另一種美。

　　學生通過對學習過程的小結，領會其中的數學思想方法;通過梳理所學內容，形成完整知識結構，培養歸納概括能力。

　　布置作業鞏固加深

　　必做題：

　　1.完成課本習題1,2,3題。

　　2.如圖，分別以直角三角形的三邊為直徑作三個半圓，這三個半圓之間面積有何關系?為什么?

　　選做題：

　　3.課后收集勾股定理的證明方法，下節課展示。

　　針對學生認知的差異設計了有層次的作業題，既使學生鞏固知識，形成技能，讓感興趣的學生課后探索，感受數學證明的靈活、優美與精巧，感受勾股定理的豐富文化。

　　勾股定理教案 2

　　教學課題：

　　勾股定理的應用

　　教學時間（日期、課時）：

　　略

　　教材分析：

　　學情分析：

　　教學目標：

　　能運用勾股定理及直角三角形的判定條件解決實際問題.

　　在運用勾股定理解決實際問題的過程中，感受數學的“轉化”思想(把解斜三角形問題轉化為解直角三角形的問題)，進一步發展有條理思考和有條理表達的能力，體會數學的應用價值。

　　教學準備

　　《數學學與練》

　　集體備課意見和主要參考資料

　　頁邊批注

　　教學過程

　　一.新課導入

　　本課時的教學內容是勾股定理在實際中的應用。除課本提供的情境外，教學中可以根據實際情況另行設計一些具體情境，也利用課本提供的素材組織數學活動。比如，把課本例2改編為開放式的問題情境：

　　一架長為10m的梯子斜靠在墻上，梯子的頂端距地面的垂直距離為8m.如果梯子的頂端下滑0.5m，你認為梯子的底端會發生什么變化?與同學交流.

　　創設學生身邊的問題情境，為每一個學生提供探索的空間，有利于發揮學生的主體性；這樣的問題學生常常會從自己的生活經驗出發，產生不同的思考方法和結論(教學中學生可能的結論有：

　　底端也滑動0.5m；如果梯子的頂端滑到地面上，梯子的頂端則滑動8m，估計梯子底端的滑動小于8m，所以梯子的頂端下滑0.5m，它的底端的滑動小于0.5m；構造直角三角形，運用勾股定理計算梯子滑動前、后底端到墻的垂直距離的差，得出梯子底端滑動約0.61m的結論等)。

　　通過與同學交流，完善各自的想法，有利于學生主動地把實際問題轉化為數學問題，從中感受用數學的眼光審視客觀世界的樂趣。

　　二.新課講授

　　問題一在上面的情境中，如果梯子的頂端下滑1m，那么梯子的底端滑動多少米?

　　組織學生嘗試用勾股定理解決問題，對有困難的學生教師給予及時的幫助和指導.

　　問題二從上面所獲得的信息中，你對梯子下滑的變化過程有進一步的思考嗎?與同學交流.

　　設計問題二促使學生能主動積極地從數學的`角度思考實際問題.教學中學生可能會有多種思考.比如：

　　①這個變化過程中，梯子底端滑動的距離總比頂端下滑的距離大；

　　②因為梯子頂端下滑到地面時，頂端下滑了8m，而底端只滑動4m，所以這個變化過程中，梯子底端滑動的距離不一定比頂端下滑的距離大；

　　③由勾股數可知，當梯子頂端下滑到離地面的垂直距離為6m，即頂端下滑2m時，底端到墻的垂直距離是8m，即底端電滑動2m等。

　　教學中不要把尋找規律作為這個探索活動的目標，應讓學生進行充分的交流，使學生逐步學會運用數學的眼光去審視客觀世界，從不同的角度去思考問題，獲得一些研究問題的經驗和方法。

　　3.例題教學

　　課本的例1是勾股定理的簡單應用，教學中可根據教學的實際情況補充一些實際應用問題，把課本習題2.7第4題作為補充例題.通過這個問題的討論，把“32+b2=c2”看作一個方程，設折斷處離地面x尺，依據問題給出的條件就把它轉化為熟悉的會解的一元二次方程32+x2=(10—x)2，從中可以讓學生感受數學的“轉化”思想，進一步了解勾股定理的悠久歷史和我國古代人民的聰明才智。

　　三.鞏固練習

　　1.甲、乙兩人同時從同一地點出發，甲往東走了4km，乙往南走了6km，這時甲、乙兩人相距__________km。

　　2.如圖，一圓柱高8cm，底面半徑2cm，一只螞蟻從點A爬到點B處吃食，要爬行的最短路程（取3）是（）。

　　（A）20cm（B）10cm（C）14cm（D）無法確定

　　3.如圖，一塊草坪的形狀為四邊形ABCD，其中∠B=90°，AB=3m，BC=4m，CD=12m，AD=13m.求這塊草坪的面積.

　　四.小結

　　我們知道勾股定理揭示了直角三角形的三邊之間的數量關系，已知直角三角形中的任意兩邊就可以依據勾股定理求出第三邊.從應用勾股定理解決實際問題中，我們進一步認識到把直角三角形中三邊關系“a2+b2=c2”看成一個方程，只要依據問題的條件把它轉化為我們會解的方程，就把解實際問題轉化為解方程.

　　勾股定理教案 3

　　復習第一步：

　　勾股定理的有關計算

　　例1：（20xx年甘肅省定西市中考題）下圖陰影部分是一個正方形，則此正方形的面積為.

　　析解：圖中陰影是一個正方形，面積正好是直角三角形一條直角邊的平方，因此由勾股定理得正方形邊長平方為：172-152=64，故正方形面積為6

　　勾股定理解實際問題

　　例2.（20xx年吉林省中考試題）圖①是一面矩形彩旗完全展平時的尺寸圖（單位：cm）.其中矩形ABCD是由雙層白布縫制的穿旗桿用的旗褲，陰影部分DCEF為矩形綢緞旗面，將穿好彩旗的旗桿垂直插在操場上，旗桿旗頂到地面的高度為220cm.在無風的天氣里，彩旗自然下垂，如圖②.求彩旗下垂時最低處離地面的最小高度h.

　　析解：彩旗自然下垂的長度就是矩形DCEF

　　的對角線DE的長度，連接DE，在Rt△DEF中，根據勾股定理，

　　得DE=h=220-150=70(cm)

　　所以彩旗下垂時的最低處離地面的最小高度h為70cm

　　與展開圖有關的計算

　　例3、（20xx年青島市中考試題）如圖，在棱長為1的正方體ABCD—A’B’C’D’的表面上，求從頂點A到頂點C’的最短距離.

　　析解：正方體是由平面圖形折疊而成，反之，一個正方體也可以把它展開成平面圖形，如圖是正方體展開成平面圖形的一部分，在矩形ACC’A’中，線段AC’是點A到點C’的最短距離.而在正方體中，線段AC’變成了折線，但長度沒有改變，所以頂點A到頂點C’的最短距離就是在圖2中線段AC’的長度.

　　在矩形ACC’A’中，因為AC=2，CC’=1

　　所以由勾股定理得AC’=.

　　∴從頂點A到頂點C’的最短距離為

　　復習第二步：

　　1.易錯點：本節同學們的`易錯點是：在用勾股定理求第三邊時，分不清直角三角形的斜邊和直角邊；另外不論是否是直角三角形就用勾股定理；為了避免這些錯誤的出現，在解題中，同學們一定要找準直角邊和斜邊，同時要弄清楚解題中的三角形是否為直角三角形.

　　例4：在Rt△ABC中，a，b，c分別是三條邊，∠B=90°，已知a=6，b=10，求邊長c.

　　錯解：因為a=6，b=10，根據勾股定理得c=剖析：上面解法，由于審題不仔細，忽視了∠B=90°，這一條件而導致沒有分清直角三角形的斜邊和直角邊，錯把c當成了斜邊.

　　正解：因為a=6，b=10，根據勾股定理得，c=溫馨提示：運用勾股定理時，一定分清斜邊和直角邊，不能機械套用c2=a2+b2

　　例5：已知一個Rt△ABC的兩邊長分別為3和4，則第三邊長的平方是

　　錯解：因為Rt△ABC的兩邊長分別為3和4，根據勾股定理得:第三邊長的平方是32+42=25

　　剖析：此題并沒有告訴我們已知的邊長4一定是直角邊，而4有可能是斜邊，因此要分類討論.

　　正解：當4為直角邊時，根據勾股定理第三邊長的平方是25；當4為斜邊時，第三邊長的平方為：42-32=7，因此第三邊長的平方為：25或7.

　　溫馨提示：在用勾股定理時，當斜邊沒有確定時，應進行分類討論.

　　例6：已知a，b，c為⊿ABC三邊，a=6，b=8，bc，且c為整數，則c=.

　　錯解：由勾股定理得c=剖析：此題并沒有告訴你⊿ABC為直角三角形

　　勾股定理教案 4

　　一、教學目標

　　通過對幾種常見的勾股定理驗證方法，進行分析和欣賞。理解數

　　學知識之間的內在聯系，體會數形結合的思想方法，進一步感悟勾股定理的文化價值。

　　通過拼圖活動，嘗試驗證勾股定理，培養學生的動手實踐和創新能力。

　　(3)讓學生經歷自主探究、合作交流、觀察比較、計算推理、動手操作等過程，獲得一些研究問題的方法，取得成功和克服困難的經驗，培養學生良好的思維品質，增進他們數學學習的信心。

　　二、教學的重、難點

　　重點：探索和驗證勾股定理的過程

　　難點：

　　(1)“數形結合”思想方法的理解和應用

　　通過拼圖，探求驗證勾股定理的新方法

　　三、學情分析

　　八年級的學生已具備一定的生活經驗，對新事物容易產生興趣，動手實踐能力也比較強，在班級上已初步形成合作交流，勇于探索與實踐的良好班風，估計本節課的學習中學生能夠在教師的引導和點撥下自主探索歸納勾股定理。

　　四、教學程序分析

　　（一）導入新課

　　介紹勾股世界

　　兩千多年前，古希臘有個畢達哥拉斯學派，他們首先發現了勾股定理，因此在國外人們通常稱勾股定理為畢達哥拉斯定理。為了紀念畢達哥拉斯學派，1955年希臘曾經發行了一枚紀念郵票。

　　我國是最早了解勾股定理的國家之一。早在三千多年前，周朝數學家商高就提出，將一根直尺折成一個直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”，它被記載于我國古代著名的數學著作《周髀算經》中。

　　（二）講解新課

　　1、探索活動一：

　　觀察下圖，并回答問題：

　　(1)觀察圖1

　　正方形A中含有

　　個小方格，即A的面積是

　　個單位面積；

　　正方形B中含有

　　個小方格，即B的'面積是

　　個單位面積；

　　正方形C中含有

　　個小方格，即C的面積是

　　個單位面積。

　　(2)在圖2、圖3中，正方形A、B、C中各含有多少個小方格？它們的面積各是多少？你是如何得到上述結果的？與同伴交流。

　　(3)請將上述結果填入下表，你能發現正方形A，B，C，的面積關系嗎？

　　A的面積

　　(單位面積)

　　B的面積

　　(單位面積)

　　C的面積

　　(單位面積)

　　圖1

　　圖2

　　2、探索活動二：

　　(1)觀察圖3，圖4

　　并填寫下表：

　　A的面積

　　(單位面積)

　　B的面積

　　(單位面積)

　　C的面積

　　(單位面積)

　　圖3

　　圖4

　　你是怎樣得到上面結果的？與同伴交流。

　　(2)三個正方形A，B，C的面積之間的關系？

　　3、議一議(合作交流，驗證發現)

　　(1)你能發現直角三角形三邊長度之間存在什么關系嗎？

　　勾股定理：如果直角三角形兩直角邊分別為a、b,斜邊為c

　　,那么a2+b2=c2。

　　即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。

　　(2)我們怎么證明這個定理呢？

　　教師指導第一種證明方法，學生合作探究第二種證明方法。

　　可得：

　　想一想：大正方形的面積該怎樣表示？

　　想一想：這四個直角三角形還能怎樣拼？

　　可得：

　　4、例題分析

　　如圖，一根電線桿在離地面5米處斷裂，電線桿頂部落在離電線桿底部12米處，電線桿折斷之前有多高？

　　解：∵，

　　∴在中，

　　,根據勾股定理，

　　∴電線桿折斷之前的高度＝BC＋AB＝5米+１３米＝１８米

　　（三）課堂小結

　　勾股定理從邊的角度刻畫了直角三角形的又一個特征.人類對勾股定理的研究已有近3000年的歷史，在西方，勾股定理又被稱為“畢達哥拉斯定理”、“百牛定理”、“驢橋定理”等等

　　（四）布置作業

　　收集有關勾股定理的證明方法，下節課展示、交流.

　　五、板書設計

　　勾股定理的探索與證明

　　做一做

　　勾股定理

　　議一議

　　（直角三角形的直角邊分別為a、b，斜邊為c，則a2＋b2=c2）

　　六、課后反思

　　《新課程標準》指出：“數學教學是數學活動的教學。”數學實驗在現階段的數學教學中還沒有普及與推廣，實際上，通過學生的合作探究、動手實踐、歸納證明等活動，讓數學課堂生動起來，也讓學生感覺數學是可以動手做實驗的，提高了學生學習數學的興趣與激情。本節課，我充分利用學生動手能力強、表現欲高的特點，在充裕的時間里，放手讓學生動手操作，自己歸納與分析。最后得出結論。我認為本節課是成功的，一方面體現了學生的主體地位，另一方面讓實驗走進了數學課堂，真正體現了實驗的巨大作用。

　　勾股定理教案 5

　　一、教學目標

　　【知識與技能】

　　理解并掌握勾股定理的逆定理，會應用定理判定直角三角形;理解勾股定理與勾股定理逆定理的區別與聯系;理解原命題和逆命題的概念，知道二者的關系及二者真假性的關系。

　　【過程與方法】

　　經歷得出猜想、推理證明的過程，提升自主探究、分析問題、解決問題的能力。

　　【情感、態度與價值觀】

　　體會事物之間的.聯系，感受幾何的魅力。

　　二、教學重難點

　　【重點】勾股定理的逆定理及其證明。

　　【難點】勾股定理的逆定理的證明。

　　三、教學過程

　　(一)導入新課

　　復習勾股定理，分清其題設和結論。

　　提問學生畫直角三角形的方法(可用尺類工具)，然后要求不能用繩子以外的工具。

　　出示古埃及人利用等長的3、4、5個繩結間距畫直角三角形的方法，以其中蘊含何道理為切入點引出課題。

　　(二)講解新知

　　請學生思考3，4，5之間的關系，結合勾股定理的學習經驗明確

　　出示數據2.5cm，6cm，6.5cm，請學生計算驗證數據滿足上述平方和關系，并畫出相應邊長的三角形檢驗是否為直角三角形。

　　學生活動：同桌兩人一組，將三邊換成其他滿足上述平方和關系的數據，如4cm，7.5cm，8.5cm，畫出相應邊長的三角形檢驗是否為直角三角形。

　　勾股定理教案 6

　　重點、難點分析

　　本節內容的重點是勾股定理的逆定理及其應用.它可用邊的關系判斷一個三角形是否為直角三角形.為判斷三角形的形狀提供了一個有力的依據.

　　本節內容的難點是勾股定理的逆定理的應用.在用勾股定理的逆定理時，分不清哪一條邊作斜邊，因此在用勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀時而出錯；另外，在解決有關綜合問題時，要將給的邊的數量關系經過代數變化，最后達到一個目標式，這種“轉化”對學生來講也是一個困難的地方.

　　教法建議：

　　本節課教學模式主要采用“互動式”教學模式及“類比”的教學方法.通過前面所學的.垂直平分線定理及其逆定理，做類比對象，讓學生自己提出問題并解決問題.在課堂教學中營造輕松、活潑的課堂氣氛.通過師生互動、生生互動、學生與教材之間的互動，造成“情意共鳴，溝通信息，反饋流暢，思維活躍”，達到培養學生思維能力的目的具體說明如下：

　　（1）讓學生主動提出問題

　　利用類比的學習方法，由學生將上節課所學習的勾股定理的逆命題書寫出來.這里分別找學生口述文字；用符號、圖形的形式板書逆命題的內容.所有這些都由學生自己完成，估計學生不會感到困難.這樣設計主要是培養學生善于提出問題的習慣及能力.

　　（2）讓學生自己解決問題

　　判斷上述逆命題是否為真命題？對這一問題的解決，學生會感到有些困難，這里教師可做適當的點撥，但要盡可能的讓學生的發現和探索，找到解決問題的思路.

　　（3）通過實際問題的解決，培養學生的數學意識.

　　教學目標：

　　1、知識目標：

　　（1）理解并會證明勾股定理的逆定理；

　　（2）會應用勾股定理的逆定理判定一個三角形是否為直角三角形；

　　（3）知道什么叫勾股數，記住一些覺見的勾股數.

　　2、能力目標：

　　（1）通過勾股定理與其逆定理的比較，提高學生的辨析能力；

　　（2）通過勾股定理及以前的知識聯合起來綜合運用，提高綜合運用知識的能力.

　　3、情感目標：

　　（1）通過自主學習的發展體驗獲取數學知識的感受；

　　（2）通過知識的縱橫遷移感受數學的辯證特征.

　　教學重點：勾股定理的逆定理及其應用

　　教學難點：勾股定理的逆定理及其應用

　　教學用具：直尺，微機

　　教學方法：以學生為主體的討論探索法

　　教學過程：

　　1、新課背景知識復習（投影）

　　勾股定理的內容

　　文字敘述（投影顯示）

　　符號表述

　　圖形（畫在黑板上）

　　2、逆定理的獲得

　　（1）讓學生用文字語言將上述定理的逆命題表述出來

　　（2）學生自己證明

　　逆定理：如果三角形的三邊長有下面關系：

　　那么這個三角形是直角三角形

　　強調說明：

　　（1）勾股定理及其逆定理的區別

　　勾股定理是直角三角形的性質定理，逆定理是直角三角形的判定定理。

　　（2）判定直角三角形的方法：

　　①角為、②垂直、③勾股定理的逆定理

　　2、定理的應用（投影顯示題目上）

　　例1如果一個三角形的三邊長分別為

　　則這三角形是直角三角形

　　例2如圖，已知：CD⊥AB于D，且有

　　求證：△ACB為直角三角形。

　　以上例題，分別由學生先思考，然后回答.師生共同補充完善.（教師做總結）

　　4、課堂小結：

　　（1）逆定理應用時易出現的錯誤：分不清哪一條邊作斜邊（最大邊）

　　（2）判定是否為直角三角形的一種方法：結合勾股定理和代數式、方程綜合運用。

　　5、布置作業：

　　a、書面作業P131＃9

　　b、上交作業：已知：如圖，△DEF中，DE＝17，EF＝30，EF邊上的中線DG＝8

　　求證：△DEF是等腰三角形

　　勾股定理教案 7

　　教學目標：

　　(1)理解通分的意義，理解最簡公分母的意義；

　　(2)掌握分式的通分法則，能熟練掌握通分運算。

　　教學重點：

　　分式通分的理解和掌握。

　　教學難點：

　　分式通分中最簡公分母的確定。

　　教學工具：

　　投影儀

　　教學方法：

　　啟發式、討論式

　　教學過程：

　　（一）引入

　　（1）如何計算：

　　由此讓學生復習分數通分的意義、通分的根據、通分的法則以及最簡公分母的概念。

　　（2）如何計算：

　　（3）何計算：

　　引導學生思考，猜想如何求解？

　　(二)新課

　　1、類比分數的通分得到分式的通分：

　　把幾個異分母的分式分別化成與原來的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分.

　　注意：通分保證

　　（1）各分式與原分式相等；

　　（2）各分式分母相等。

　　2.通分的依據：分式的基本性質.

　　3.通分的關鍵：確定幾個分式的最簡公分母.

　　通常取各分母的所有因式的最高次冪的積作最簡公分母，這樣的公分母叫做最簡公分母.

　　根據分式通分和最簡公分母的定義，將分式xx，xx，xx通分：

　　最簡公分母為：xx，然后根據分式的基本性質，分別對原來的各分式的分子和分母乘一個適當的整式，使各分式的分母都化為xx。通分如下：

　　通過本例使學生對于分式的通分大致過程和思路有所了解。讓學生歸納通分的思路過程。

　　例1通分：

　　（1）xx，xx，xx；

　　分析：讓學生找分式的公分母，可設問“分母的系數各不相同如何解決？”，依據分數的'通分找最小公倍數。

　　解：∵最簡公分母是12xy2

　　小結：各分母的系數都是整數時，通常取它們的系數的最小公倍數作為最簡公分母的系數.

　　解：∵最簡公分母是10a2b2c2

　　由學生歸納最簡公分母的思路。

　　分式通分中求最簡公分母概括為：

　　（1）取各分母系數的最小公倍數；

　　（2）凡出現的字母為底的冪的因式都要取；

　　（3）相同字母的冪的因式取指數最大的。

　　取這些因式的積就是最簡公分母。

　　勾股定理教案 8

　　學習目標：

　　1、通過拼圖,用面積的方法說明勾股定理的正確性.

　　2、通過實例應用勾股定理,培養學生的知識應用技能.

　　學習重點：

　　1.用面積的方法說明勾股定理的正確.

　　2.勾股定理的應用.

　　學習難點：

　　勾股定理的應用.

　　學習過程：

　　一、學前準備：

　　1、閱讀課本第46頁到第47頁，完成下列問題:

　　(1)我國古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長的稱為股，斜邊稱為弦。圖（1）稱為“弦圖”，最早是由三國時期的數學家趙爽在為《周髀算經》作法時給出的。圖（2）是在北京召開的2002年國際數學家大會（TCM－2002）的`會標，其圖案正是“弦圖”，它標志著中國古代的數學成就.你能用不同方法表示大正方形的面積嗎?

　　2、剪四個完全相同的直角三角形，然后將它們拼成如圖所示的圖形。大正方形的面積可以表示為_________________________,又可以表示為__________________________.對比兩種表示方法，看看能不能得到勾股定理的結論。用上面得到的完全相同的四個直角三角形，還可以拼成如下圖所示的圖形，與上面的方法類似，也能說明勾股定理是正確的方法（請逐一說明）

　　二、合作探究：

　　（一）自學、相信自己：

　　（二）思索、交流：

　　拼圖填空：剪裁出若干個大小、形狀完全相同的直角三角形，三邊長分別記為a、b、c，如圖①.（1）拼圖一：分別用4張直角三角形紙片，拼成如圖②③的形狀，觀察圖②③可發現，圖②中兩個小正方形的面積之和

　　（三）應用、探究：

　　1、如圖，為了求出湖兩岸的A、B兩點之間的距離，一個觀測者在點C設樁，使三角形ABC恰好為直角三角形.通過測量，得到AC長160米，BC長128米.問從點A穿過湖到點B有多遠？

　　（四）鞏固練習：

　　1、如圖,64、400分別為所在正方形的面積，則圖中字

　　母A所代表的正方形面積是_________。

　　三.學習體會：

　　本節課我們進一步認識了勾股定理，并用兩種方法證明了這個定理，在應用此定理解決問題時，應注意只有直角三角形的三邊才有這樣的關系，如果不是直角三角形應該構造直角三角形來解決。

　　2②圖

　　四.自己測試：

　　五.自己提高：

　　勾股定理教案 9

　　一、例題的意圖分析

　　例1（P83例2）讓學生養成利用勾股定理的逆定理解決實際問題的意識。

　　例2（補充）培養學生利用方程思想解決問題，進一步養成利用勾股定理的逆定理解決實際問題的意識。

　　二、課堂引入

　　創設情境：在軍事和航海上經常要確定方向和位置，從而使用一些數學知識和數學方法。

　　三、例習題分析

　　例1（P83例2）

　　分析：⑴了解方位角，及方位名詞；

　　⑵依題意畫出圖形；

　　⑶依題意可得PR=12×1.5=18，PQ=16×1.5=24，QR=30；

　　⑷因為242+182=302，PQ2+PR2=QR2，根據勾股定理的逆定理，知∠QPR=90°；

　　⑸∠PRS=∠QPR-∠QPS=45°。

　　小結：讓學生養成“已知三邊求角，利用勾股定理的逆定理”的意識。

　　例2（補充）一根30米長的細繩折成3段，圍成一個三角形，其中一條邊的長度比較短邊長7米，比較長邊短1米，請你試判斷這個三角形的形狀。

　　分析：⑴若判斷三角形的.形狀，先求三角形的三邊長；

　　⑵設未知數列方程，求出三角形的三邊長5、12、13；

　　⑶根據勾股定理的逆定理，由52+122=132，知三角形為直角三角形。

　　解略。

　　四、課堂練習

　　1.小強在操場上向東走80m后，又走了60m，再走100m回到原地。小強在操場上向東走了80m后，又走60m的方向是。

　　2.如圖，在操場上豎直立著一根長為2米的測影竿，早晨測得它的影長為4米，中午測得它的影長為1米，則A、B、C三點能否構成直角三角形？為什么？

　　3.如圖，在我國沿海有一艘不明國籍的輪船進入我國海域，我海軍甲、乙兩艘巡邏艇立即從相距13海里的A、B兩個基地前去攔截，六分鐘后同時到達C地將其攔截。已知甲巡邏艇每小時航行120海里，乙巡邏艇每小時航行50海里，航向為北偏西40°，問：甲巡邏艇的航向

　　勾股定理教案 10

　　教學目標

　　1、知識與技能目標：探索并理解直角三角形的三邊之間的數量關系，通過探究能夠發現直角三角形中兩個直角邊的平方和等于斜邊的平方和。

　　2、過程與方法目標：經歷用測量和數格子的辦法探索勾股定理的過程，進一步發展學生的合情推理能力。

　　3、情感態度與價值觀目標：通過本節課的學習，培養主動探究的習慣，并進一步體會數學與現實生活的緊密聯系。

　　教學重點

　　了解勾股定理的由來，并能用它來解決一些簡單的問題。

　　教學難點

　　勾股定理的探究以及推導過程。

　　教學過程

　　一、創設問題情景、導入新課

　　首先出示：投影1（章前的圖文）并介紹我國古代在勾股定理研究方面的貢獻，結合課本第六頁談一談我國是最早了解勾股定理的國家之一，介紹商高（三千多年前周期的數學家）在勾股定理方面的貢獻。

　　出示課件觀察后回答：

　　1、觀察圖1—2，正方形A中有_______個小方格，即A的面積為______個單位。

　　正方形B中有_______個小方格，即B的面積為______個單位。

　　正方形C中有_______個小方格，即C的面積為______個單位。

　　2、你是怎樣得出上面的結果的？

　　3、在學生交流回答的基礎上教師進一步設問：圖1—2中，A，B，C面積之間有什么關系？學生交流后得到結論：A+B=C。

　　二、層層深入、探究新知

　　1、做一做

　　出示投影3（書中P3圖1—3）

　　提問：（1）圖1—3中，A，B，C之間有什么關系？（2）從圖1—2，1—3中你發現什么？

　　學生討論、交流后，得出結論：以三角形兩直角邊為邊的正方形的面積和，等于以斜邊為邊的正方形面積。

　　2、議一議

　　圖1—2、1—3中，你能用三角形的邊長表示正方形的面積嗎？

　　（1）你能發現直角三角形三邊長度之間的關系嗎？在同學交流的`基礎上，共同探討得出：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。這就是著名的“勾股定理”。也就是說如果直角三角形的兩直角邊為a，b，斜邊為c那么。我國古代稱直角三角形的較短的直角邊為勾，較長的為股，斜邊為弦，這就是勾股定理的由來。

　　（2）分別以5厘米和12厘米為直角邊做出一個直角三角形，并測量斜邊的長度（學生測量后回答斜邊長為13）請大家想一想（2）中的規律，對這個三角形仍然成立嗎？

　　3、想一想

　　我們常見的電視的尺寸：29英寸（74厘米）的電視機，指的是屏幕的長嗎？還是指的是屏幕的寬？那他指什么呢？能否運用剛才所學的知識，檢驗一下電視劇的尺寸是否合格？

　　三、鞏固練習。

　　1、在圖1—1的問題中，折斷之前旗桿有多高？

　　2、錯例辨析：△ABC的兩邊為3和4，求第三邊

　　解：由于三角形的兩邊為3、4

　　所以它的第三邊的c應滿足

　　=25即：c=5辨析：（1）要用勾股定理解題，首先應具備直角三角形這個必不可少的條件，可本題三角形ABC并未說明它是否是直角三角形，所以用勾股定理就沒有依據。（2）若告訴△ABC是直角三角形，第三邊C也不一定是滿足，題目中并未交待C是斜邊。

　　綜上所述這個題目條件不足，第三邊無法求得

　　四、課堂小結

　　鼓勵學生自己總結、談談自己本節課的收獲，以及自己對勾股定理的理解，老師加以糾正和補充。

　　五、布置作業

　　勾股定理教案 11

　　在數學課程改革中，基于對數學課程標準基本理念的理解，我從多個方面、不同的角度將課改前后勾股定理的教學進行了對比與研究，以求從中明晰在今后的教學中亟待解決的問題，更加靠近課程改革的具體目標、

　　一、課程改革前對勾股定理的教學

　　（一）教學目標

　　1、使學生掌握勾股定理、

　　2、使學生能夠熟練地運用勾股定理，由已知直角三角形中的兩條邊長求出第三條邊長

　　（二）教學內容

　　1、關于勾股定理的數學史：《周髀算經》中出現的“勾廣三，股修四，徑隅五”

　　2、給出勾股定理：直角三角形兩直角邊a，b的平方和，等于斜邊c的平方，即a2+b2=c2

　　3、用拼圖法推證勾股定理、

　　4、勾股定理的應用：解決幾何計算、作圖及實際生產、生活的問題、

　　二、課程改革后對勾股定理的教學

　　（一）教學目標

　　1、認知目標：掌握直角三角形三邊之間的數量關系，學會用符號表示、通過數格子及割補等辦法探索勾股定理的形成過程，使學生體會數形結合的思想，體驗從特殊到一般的邏輯推理過程

　　2、能力目標：發展學生的合情推理能力，主動合作、探究的學習精神，感受數學思考過程的條理性，讓學生經歷“觀察—猜想—歸納—驗證”的數學思想，并感受數形結合和由特殊到一般的思想方法

　　3、情感目標：通過數學史上對勾股定理的介紹，激發學生學數學、愛數學、做數學的情感，使學生在經歷定理探索的過程中，感受數學之美、探究之趣

　　（二）教學內容

　　1、在方格紙上通過計算面積的方法探索勾股定理（或設計其他的探索情境）

　　2、由學生通過觀察、歸納、猜想確認勾股定理：如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a2+b2=c2，即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方

　　3、勾股世界：介紹勾股定理的悠久歷史、重大意義及古代人民的聰明才智

　　4、探討利用拼圖法驗證勾股定理、

　　5、勾股定理的實際應用、

　　三、兩種課堂教學的對比

　　（一）教學理念和教學內容的不同

　　課改前傳統的勾股定理的教學，重在掌握定理和應用定理、這種教學過分突出了勾股定理這一現成幾何知識結論的傳遞和接受，忽略了定理的發現過程、發現方法，導致學生的學習過程被異化為被動接受和單純的記憶定理、被動認知和機械訓練變形及運算技能的過程、這種教學思想的弊病是“重結論而輕過程”，“厚知識運用而薄思想方法”

　　課改后勾股定理的教學從以下幾方面進行：

　　1、創設探索性的問題情境——學生歸納出直角三角形三邊之間的一般規律

　　2、拼圖驗證定理——用數形結合的方法支持定理的認識

　　3、構建數學模型——學生體驗由特例歸納猜想、由特例檢驗猜想

　　4、解決實際問題——熟練掌握定理，并形成運用定理的技能

　　5、勾股定理數學史——激發學生的民族自豪感，點燃熱愛數學的熱情

　　站在理論的角度，在這種設計中，使學生對知識的實際背景和對知識的直觀感知以及學生對收集、整理、分析數學信息的能力等方面得以加強、這充分反映了以未來社會對公民所需的數學思想方法為主線選擇和安排教學內容，并以與學生年齡特征相適應的大眾化、生活化的方式呈現教學內容、不過，通過實際教學，要想真正的做到“以學生為本”，在短短的兩課時內既要重點突出，又能不留死角地圓滿完成以上五個層面的學習，也確屬不易

　　（二）教師備課內容的不同

　　教改前對勾股定理的備課，在把握教材內容的同時，可在勾股定理的數學史和定理應用兩方面加以調整、例如，增強民族自豪感：中國古代的大禹就是用勾股定理來確定兩地的地勢差，以治理洪水；激發學習興趣：勾股定理的證明方法已有400多種，給出這些證明方法的不但有數學家、物理學家，還不乏政界要人，像美國第20任總統加菲爾德、印度國王帕斯卡拉二世，都通過構造圖形的方法給出了勾股定理的別致證法、

　　定理應用這一課時，教材從純幾何問題、生活問題、生產問題等幾方面均有涉及，從提高學生興趣方面可靈活補充一道11世紀阿拉伯數學家給出的一道趣味題：小溪邊長著兩棵樹，隔岸相望、一棵樹高30肘尺（古代長度單位），另一棵高20肘尺，兩樹的樹干間的距離是50肘尺、每棵樹的樹頂上都停著一只鳥，兩只鳥同時看見樹間水面上游出的一條魚，它們立刻飛去抓魚，并且同時到到目標、問：這條魚出現的地方離較高的樹的樹根有多遠？

　　在實際教學中根據學生的理解情況及實際水平，在訓練的形式、數量上與教材也有所區分：增加了一個隨堂檢測，以鞏固所學、由于當時所教班級為數學班，學生整體接受能力較強，就設計了一個請學生自編有關勾股定理應用的題目，效果不錯。

　　教改后的備課，除了在上述兩方面有所選擇之外，重點放在了探索情境的設置上：利用下面圖中的任何一個或幾個都可從3個正方形的面積關系中得出直角三角形三邊關系，不同的班級可由學生不同的認知水平來設計認識層次。

　　為了保證教學重點，把利用拼圖驗證勾股定理的主要探討放在專門的課題學習中進行。

　　（三）學生學習方式的不同

　　對于課改前勾股定理的學習，學生沿襲著“接受定理——強化訓練——回味體會”的方式、這在一定程度上增強了學生對定理的熟悉程度，并在定理應用上感到運用自如、但這種熟練僅僅是一種強化訓練后的暫時現象，知識的本身及其遷移只保持在較短的`時間內，不會給學習者留下長久的甚至是終生的印象

　　很明顯，課改后勾股定理的學習是從實際問題到數學問題，再回到實際問題的處理過程，學生眼中的勾股定理來源于熟悉的背景——正方形面積，又用于指導生產、生活、經常用數學的眼光來審視生活，從生活中發現數學，學生才會逐步具有“數學建模”的能力，才能逐步感悟生活的數學性、這不僅是社會發展的需要，同時也是促進學生自身發展的需要、學生學習過程中對定理的探求、現代信息技術的發現及驗證過程無時不表現著其學習的主動性，定理的歸納、結論的自我認同又包含著合作與自由發展的和諧共鳴、利用課堂教學、利用教材培養學生良好的學習方式，便塑造了其良好的思維方式，促進了學生和諧、自由、全面、充分的發展。

　　（四）教學效果的不同

　　四、兩種教學對比研究的結論

　　（一）新課程前后的教學各有優勢與不足。

　　（二）新課程中幾何教學需要注意的幾個方面：

　　1、探究學習不是簡單地布置學生去探究、去學習，教師要發揮主導作用，要讓學生明確去探究什么，如何探究，要讓學生的探究活動是有效的、有意義的新教材中的很大一部分可采用勾股定理的探究方式：向學生提供探索情境，提出能提供必需信息的問題——學生采用多種方式尋求問題的答案，獲取信息——整理、歸納結論——設法驗證或解釋

　　2、學生學習過程中的主動參與要在教師指導督促中形成，不能過高估計學生的意志、興趣、例如，營造一種和諧、民主的課堂氣氛來提高全體學生的參與興趣；幫助學生制訂分段式的小目標來增強其成就感，強化其參與意識。

　　3、避免合作學習流于形式

　　（1）堅持“組間同質，組內異質”的分組方式，以保證人人有所發展

　　（2）教師要加強合作技能的指導，指導學生進行小組分工，要求明確各自在完成共同的任務中個人承擔的責任

　　（3）及時協調組內成員間的關系，有效解決組內出現的不利問題

　　（4）正確評價組內成員的成績，尋求個人和小集體共同提高的途徑

　　4、要注重教學活動目標的整體實現、新課程中注重對學生學習興趣的培養、能力的提升，注重知識形成過程的教學，但對一些基本的訓練有些淡化，導致整體教學目標不夠均衡、為此，在勾股定理的教學中，不但要重過程、方法、能力，還要重視相關的計算和推理，并在計算和推理中學會數學思考，這樣才能把“知識技能”、“數學思考”、“問題解決”、“情感態度”多方面教學目標有機結合，達到整體實現教學目標

　　5、不能忽視雙基的教學，要注重學生對基礎知識、基本技能的理解和掌握、基礎知識不但是學生發展的基礎性目標，還是落實數學思想、方法、能力目標的載體、數學知識的教學，要注重知識的“生長點”與“延伸點”，把每堂課教學的知識置于整體知識的體系中，注重知識的結構和體系

　　6、重視合情推理及演繹推理的教學和訓練、推理教學要轉變并貫穿于數學教學的始終、教學中，教師要設計適當的學習活動，引導學生通過觀察、估算、歸納、類比、畫圖等活動發現一些規律，猜想某些結論，發展合情推理能力、對于幾何的教學要加強演繹推理的教學訓練，通過實例讓學生認識到，結論的正確與否需要演繹推理的證明、當然，不同年級可提出不同的要求，但要慢慢加強，訓練不斷提高要求，最后形成較高的演繹推理能力

　　勾股定理教案 12

　　一、學生知識狀況分析

　　本節將利用勾股定理及其逆定理解決一些具體的實際問題，其中需要學生了解空間圖形、對一些空間圖形進行展開、折疊等活動。學生在學習七年級上第一章時對生活中的立體圖形已經有了一定的認識，并從事過相應的實踐活動，因而學生已經具備解決本課問題所需的知識基礎和活動經驗基礎。

　　二、教學任務分析

　　本節是義務教育課程標準北師大版實驗教科書八年級(上)第一章《勾股定理》第3節。具體內容是運用勾股定理及其逆定理解決簡單的實際問題。當然，在這些具體問題的解決過程中，需要經歷幾何圖形的抽象過程，需要借助觀察、操作等實踐活動，這些都有助于發展學生的分析問題、解決問題能力和應用意識；一些探究活動具體一定的難度，需要學生相互間的合作交流，有助于發展學生合作交流的能力。

　　三、本節課的教學目標是：

　　1.通過觀察圖形，探索圖形間的關系，發展學生的空間觀念.

　　2.在將實際問題抽象成數學問題的過程中，提高分析問題、解決問題的能力及滲透數學建模的思想.

　　3.在利用勾股定理解決實際問題的過程中，體驗數學學習的實用性.

　　利用數學中的.建模思想構造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解決實際問題是本節課的重點也是難點.

　　四、教法學法

　　1.教學方法

　　引導—探究—歸納

　　本節課的教學對象是初二學生，他們的參與意識教強，思維活躍，為了實現本節課的教學目標，我力求以下三個方面對學生進行引導：

　　(1)從創設問題情景入手，通過知識再現，孕育教學過程;

　　(2)從學生活動出發，順勢教學過程;

　　(3)利用探索研究手段，通過思維深入，領悟教學過程.

　　2.課前準備

　　教具：教材、電腦、多媒體課件.

　　學具：用矩形紙片做成的圓柱、剪刀、教材、筆記本、課堂練習本、文具.

　　五、教學過程分析

　　本節課設計了七個環節.第一環節：情境引入;第二環節：合作探究;第三環節：做一做;第四環節：小試牛刀;第五環節：舉一反三;第六環節：交流小結;第七環節：布置作業.

　　1.3勾股定理的應用：課后練習

　　一、問題引入：

　　1、勾股定理：直角三角形兩直角邊的________等于________。如果用a,b和c表示直角三角形的兩直角邊和斜邊，那么________。

　　2、勾股定理逆定理：如果三角形三邊長a,b，c滿足________，那么這個三角形是直角三角形

　　1.3勾股定理的應用：同步檢測

　　1.為迎接新年的到來，同學們做了許多拉花布置教室，準備召開新年晚會，小劉搬來一架高2.5米的木梯，準備把拉花掛到2.4米高的墻上，則梯腳與墻角距離應為()

　　A.0.7米B.0.8米C.0.9米D.1.0米

　　2.小華和小剛兄弟兩個同時從家去同一所學校上學，速度都是每分鐘走50米.小華從家到學校走直線用了10分鐘，而小剛從家出發先去找小明再到學校(均走直線)，小剛到小明家用了6分鐘，小明家到學校用了8分鐘，小剛上學走了個()

　　A.銳角彎B.鈍角彎C.直角彎D.不能確定

　　3.如圖，是一個圓柱形飲料罐，底面半徑是5，高是12，上底面中心有一個小圓孔，則一條到達底部的直吸管在罐內部分a的長度(罐壁的厚度和小圓孔的大小忽略不計)范圍是()

　　A.5≤a≤12B.5≤a≤13C.12≤a≤13D.12≤a≤15

　　4.一個木工師傅測量了一個等腰三角形木板的腰、底邊和高的長，但他把這三個數據與其它的數據弄混了，請你幫助他找出來，是第()組.

　　A.13，12，12B.12，12，8C.13，10，12D.5，8，4

　　勾股定理教案 13

　　課題：

　　勾股定理

　　課型：

　　新授課

　　課時安排：

　　1課時

　　教學目的：

　　一、知識與技能目標理解和掌握勾股定理的內容，能夠靈活運用勾股定理進行計算，并解決一些簡單的實際問題。

　　二、過程與方法目標通過觀察分析，大膽猜想，并探索勾股定理，培養學生動手操作、合作交流、邏輯推理的能力。

　　三、情感、態度與價值觀目標了解中國古代的數學成就，激發學生愛國熱情；學生通過自己的努力探索出結論獲得成就感，培養探索熱情和鉆研精神；同時體驗數學的美感，從而了解數學，喜歡幾何。

　　教學重點：

　　引導學生經歷探索及驗證勾股定理的過程，并能運用勾股定理解決一些簡單的實際問題

　　教學難點：

　　用面積法方法證明勾股定理

　　課前準備：

　　多媒體ppt，相關圖片

　　教學過程：

　　（一）情境導入

　　1、多媒體課件放映圖片欣賞：勾股定理數形圖，1955年希臘發行的一枚紀念郵票，美麗的勾股樹，2002年國際數學大會會標等。通過圖形欣賞，感受數學之美，感受勾股定理的文化價值。

　　2、多媒體課件演示FLASH小動畫片：某樓房三樓失火，消防隊員趕來救火，了解到每層樓高3米，消防隊員取來6.5米長的云梯，如果梯子的底部離墻基的距離是2.5米，請問消防隊員能否進入三樓滅火？已知一直角三角形的兩邊，如何求第三邊？學習了今天的這節課后，同學們就會有辦法解決了。

　　（二）學習新課問題一是等腰直角三角形的情形（通過多媒體給出圖形），判斷外圍三個正方形面積有何關系？相傳2500年前，畢達哥拉斯（古希臘著名的哲學家、數學家、天文學家）有一次在朋友家做客時，發現朋友家里用磚鋪成的地面中反映了直角三角形三邊的某種數量關系。你能觀察圖中的地面，看看能發現什么？對于等腰直角三角形有這樣的性質：兩直邊的平方和等于斜邊的平方那么對于一般的直角三角形是否也有這樣的性質呢？請大家畫一個任意的直角三角形，量一量，算一算。問題二是一般直角三角形的情形，判斷這時外圍三個正方形的面積是否也存在這種關系？通過這個觀察和驗算這個直角三角形外圍的三個正方形面積之間的關系，同學們發現了什么規律嗎？通過前面對兩個問題的驗證，可以得到勾股定理：如果直角三角形的兩直角邊長分別為a、b，斜邊為c，那么a2+b2=c2。

　　（三）鞏固練習1、如果一個直角三角形的`兩條邊長分別是6厘米和8厘米，那么這個三角形的周長是多少厘米？2、解決課程開始時提出的情境問題。

　　（四）小結

　　1、背景知識介紹①《周髀算徑》中，西周的商高在公元一千多年前發現了“勾三股四弦五”這一規律；②康熙數學專著《勾股圖解》有五種求解直角三角形的方法，積求勾股法是他的獨創。

　　2、通過這節課的學習，你會寫方程了嗎？你有什么收獲和體會？

　　（五）作業練習18.1中的1、2、3題。板書設計：勾股定理：如果直角三角形的兩直角邊長分別為a、b，斜邊為c，那么a2+b2=c2。

　　勾股定理教案 14

　　教學目標

　　1、知識與技能目標

　　學會觀察圖形，勇于探索圖形間的關系，培養學生的空間觀念.

　　2、過程與方法

　　(1)經歷一般規律的探索過程，發展學生的抽象思維能力.

　　(2)在將實際問題抽象成幾何圖形過程中，提高分析問題、解決問題的能力及滲透數學建模的思想.

　　3、情感態度與價值觀

　　(1)通過有趣的問題提高學習數學的興趣.

　　(2)在解決實際問題的過程中，體驗數學學習的實用性.

　　教學重點：

　　探索、發現事物中隱含的勾股定理及其逆及理，并用它們解決生活實際問題.

　　教學難點：

　　利用數學中的`建模思想構造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解決實際問題.

　　教學準備：

　　多媒體

　　教學過程：

　　第一環節：創設情境，引入新課（3分鐘，學生觀察、猜想）

　　情景：

　　如圖：在一個圓柱石凳上，若小明在吃東西時留下了一點食物在B處，恰好一只在A處的螞蟻捕捉到這一信息，于是它想從A處爬向B處，你們想一想，螞蟻怎么走最近？

　　第二環節：合作探究（15分鐘，學生分組合作探究）

　　學生分為４人活動小組，合作探究螞蟻爬行的最短路線，充分討論后，匯總各小組的方案，在全班范圍內討論每種方案的路線計算方法，通過具體計算，總結出最短路線。讓學生發現：沿圓柱體母線剪開后展開得到矩形，研究“螞蟻怎么走最近”就是研究兩點連線最短問題，引導學生體會利用數學解決實際問題的方法：建立數學模型，構圖，計算.

　　學生匯總了四種方案：

　　（１）（２）（3）（4）

　　學生很容易算出：情形（１）中A→B的路線長為：AA’+d，情形（２）中A→B的路線長為：AA’+πd／2所以情形（１）的路線比情形（２）要短.

　　學生在情形（３）和（４）的比較中出現困難，但還是有學生提出用剪刀沿母線AA’剪開圓柱得到矩形，前三種情形A→B是折線，而情形（４）是線段，故根據兩點之間線段最短可判斷（４）最短.

　　如圖：

　　（１）中A→B的路線長為：AA’+d;

　　（２）中A→B的路線長為：AA’+A’B>AB;

　　（３）中A→B的路線長為：AO+OB>AB;

　　（４）中A→B的路線長為：AB.

　　得出結論：利用展開圖中兩點之間，線段最短解決問題.在這個環節中，可讓學生沿母線剪開圓柱體，具體觀察.接下來后提問：怎樣計算AB？

　　在Rt△AA′B中，利用勾股定理可得，若已知圓柱體高為12c，底面半徑為3c，π取3，則.

　　第三環節：做一做（7分鐘，學生合作探究）

　　教材23頁

　　李叔叔想要檢測雕塑底座正面的AD邊和BC邊是否分別垂直于底邊AB，但他隨身只帶了卷尺，

　　（1）你能替他想辦法完成任務嗎？

　　（2）李叔叔量得AD長是30厘米，AB長是40厘米，BD長是50厘米，AD邊垂直于AB邊嗎？為什么？

　　（3）小明隨身只有一個長度為20厘米的刻度尺，他能有辦法檢驗AD邊是否垂直于AB邊嗎？BC邊與AB邊呢？

　　第四環節：鞏固練習（10分鐘，學生獨立完成）

　　1.甲、乙兩位探險者到沙漠進行探險，某日早晨8：00甲先出發，他以6/h的速度向正東行走，1小時后乙出發，他以5/h的速度向正北行走.上午10：00，　甲、乙兩人相距多遠？

　　2.如圖，臺階A處的螞蟻要爬到B處搬運食物，它怎么走最近？并求出最近距離.

　　3.有一個高為1.5米，半徑是1米的圓柱形油桶，在靠近邊的地方有一小孔，從孔中插入一鐵棒，已知鐵棒在油桶外的部分為0.5米，問這根鐵棒有多長？

　　第五環節課堂小結（3分鐘，師生問答）

　　內容：

　　如何利用勾股定理及逆定理解決最短路程問題？

　　第六環節：布置作業（2分鐘，學生分別記錄）

　　內容：

　　作業：1.課本習題1.5第1，2，3題.

　　要求：A組（學優生）：1、2、3

　　B組（中等生）：1、2

　　C組（后三分之一生）：1

　　板書設計：

　　教學反思：

　　勾股定理教案 15

　　教學課題：

　　勾股定理的應用

　　教學時間

　　（日期、課時）

　　教材分析：

　　學情分析：

　　教學目標：

　　能運用勾股定理及直角三角形的判定條件解決實際問題。

　　在運用勾股定理解決實際問題的過程中，感受數學的“轉化”思想（把解斜三角形問題轉化為解直角三角形的問題），進一步發展有條理思考和有條理表達的能力，體會數學的應用價值。

　　教學準備

　　《數學學與練》

　　集體備課意見和主要參考資料

　　頁邊批注

　　教學過程

　　一、新課導入

　　一架長為10m的梯子斜靠在墻上，梯子的頂端距地面的垂直距離為8m。如果梯子的頂端下滑0.5m，你認為梯子的底端會發生什么變化？與同學交流。

　　創設學生身邊的.問題情境，為每一個學生提供探索的空間，有利于發揮學生的主體性；這樣的問題學生常常會從自己的`生活經驗出發，產生不同的思考方法和結論（教學中學生可能的結論有：底端也滑動0.5m；如果梯子的頂端滑到地面上，梯子的頂端則滑動8m，估計梯子底端的滑動小于8m，所以梯子的頂端下滑0.5m，它的底端的滑動小于0.5m；構造直角三角形，運用勾股定理計算梯子滑動前、后底端到墻的垂直距離的差，得出梯子底端滑動約0.61m的結論等）；通過與同學交流，完善各自的想法，有利于學生主動地把實際問題轉化為數學問題，從中感受用數學的眼光審視客觀世界的樂趣。

　　二、新課講授

　　問題一在上面的情境中，如果梯子的頂端下滑1m，那么梯子的底端滑動多少米？

　　組織學生嘗試用勾股定理解決問題，對有困難的學生教師給予及時的幫助和指導。

　　問題二從上面所獲得的信息中，你對梯子下滑的變化過程有進一步的思考嗎？與同學交流。

　　設計問題二促使學生能主動積極地從數學的角度思考實際問題。教學中學生可能會有多種思考、比如，①這個變化過程中，梯子底端滑動的距離總比頂端下滑的距離大；②因為梯子頂端下滑到地面時，頂端下滑了8m，而底端只滑動4m，所以這個變化過程中，梯子底端滑動的距離不一定比頂端下滑的距離大；③由勾股數可知，當梯子頂端下滑到離地面的垂直距離為6m，即頂端下滑2m時，底端到墻的垂直距離是8m，即底端電滑動2m等。教學中不要把尋找規律作為這個探索活動的目標，應讓學生進行充分的交流，使學生逐步學會運用數學的眼光去審視客觀世界，從不同的角度去思考問題，獲得一些研究問題的經驗和方法、

　　3、例題教學

　　課本的例1是勾股定理的簡單應用，教學中可根據教學的實際情況補充一些實際應用問題，把課本習題2.7第4題作為補充例題。通過這個問題的討論，把“32+b2=c2”看作一個方程，設折斷處離地面x尺，依據問題給出的條件就把它轉化為熟悉的會解的一元二次方程32+x2=（10—x）2，從中可以讓學生感受數學的“轉化”思想，進一步了解勾股定理的悠久歷史和我國古代人民的聰明才智、

　　三、鞏固練習

　　1、甲、乙兩人同時從同一地點出發，甲往東走了4km，乙往南走了6km，這時甲、乙兩人相距__________km。

　　2、如圖，一圓柱高8cm，底面半徑2cm，一只螞蟻從點A爬到點B處吃食，要爬行的最短路程（取3）是（）。

　　（A）20cm（B）10cm（C）14cm（D）無法確定

　　3、如圖，一塊草坪的形狀為四邊形ABCD，其中∠B=90°，AB=3m，BC=4m，CD=12m，AD=13m。求這塊草坪的面積。

　　四、小結

　　我們知道勾股定理揭示了直角三角形的三邊之間的數量關系，已知直角三角形中的任意兩邊就可以依據勾股定理求出第三邊。從應用勾股定理解決實際問題中，我們進一步認識到把直角三角形中三邊關系“a2+b2=c2”看成一個方程，只要依據問題的條件把它轉化為我們會解的方程，就把解實際問題轉化為解方程。

　　勾股定理教案 16

　　一、內容和內容解析

　　1。內容

　　應用勾股定理及勾股定理的逆定理解決實際問題。

　　2。內容解析

　　運用勾股定理的逆定理可以從三角形邊的數量關系來識別三角形的形狀，它是用代數方法來研究幾何圖形，也是向學生滲透“數形結合”這一數學思想方法的很好素材。綜合運用勾股定理及其逆定理能幫助我們解決實際問題。

　　基于以上分析，可以確定本課的教學重點是靈活運用勾股定理的逆定理解決實際問題。

　　二、目標和目標解析

　　1。目標

　　（1）靈活應用勾股定理及逆定理解決實際問題。

　　（2）進一步加深性質定理與判定定理之間關系的認識。

　　2。目標解析

　　達成目標（1）的標志是學生通過合作、討論、動手實踐等方式，在應用題中建立數學模型，準確畫出幾何圖形，再熟練運用勾股定理逆定理判斷三角形狀及求邊長、面積、角度等；

　　目標（2）能先用勾股定理的逆定理判斷一個三角形是直角三角形，再用勾股定理及直角三角形的性質進行有關的計算和證明。

　　三、教學問題診斷分析

　　對于大部分學生將實際問題抽象成數學模型并進行解析與應用，有一定的困難，所以在教學時應該注意啟發引導學生從實際生活中所遇到的問題出發，鼓勵學生以勾股定理及逆定理的知識為載體建立數學模型，利用數學模型去解決實際問題。

　　本課的教學難點是靈活運用勾股定理及逆定理解決實際問題。

　　四、教學過程設計

　　1。復習反思，引出課題

　　問題1通過前面的學習，我們對勾股定理及其逆定理的知識有一定的了解，請說出勾股定理及其逆定理的內容。

　　師生活動：學生回答勾股定理的內容“如果直角三角形的兩條直角邊長分別為，斜邊長為，那么；勾股定理的逆定理“如果三角形的三邊長滿足，那么這個三角形是直角三角形。

　　追問：你能用勾股定理及逆定理解決哪些問題？

　　師生活動：學生通過思考舉手回答，教師板書課題。

　　【設計意圖】通過復習勾股定理及其逆定理來引入本課時的學習任務——應用勾股定理及逆定理解決有關實際問題。

　　2。點擊范例，以練促思

　　問題2某港口位于東西方向的海岸線上。“遠航”號、“海天”號輪船同時離開港口，各自沿一固定方向航行，“遠航”號每小時航行16海里，“海天”號每小時航行12海里。它們離開港口一個半小時后相距30海里。如果知道“遠航”號沿東北方向航行，能知道“海天”號沿哪個方向航行嗎？

　　師生活動：學生讀題，理解題意，弄清楚已知條件和需解決的問題，教師通過梯次性問題的展示，適時點撥，學生嘗試畫圖、估測、交流中分化難點完成解答。

　　追問1：請同學們認真審題，弄清已知是什么？解決的問題是什么？

　　師生活動：學生通過思考舉手回答，教師在黑板上列出：已知兩種船的航速，它們的航行時間以及相距的路程，“遠航”號的航向——東北方向；解決的問題是“海天”號的航向。

　　追問2：你能根據題意畫出圖形嗎？

　　師生活動：學生嘗試畫圖，教師在黑板上或多媒體中畫出示意圖。

　　追問3：在所畫的圖中哪個角可以表示“海天”號的航向？圖中知道哪個角的度數？

　　師生活動：學生小組討論交流回答問題“海天”號的航向只要能確定∠QPR的大小即可。組內討論解答，小組代表展示解答過程，教師適時點評，多媒體展示規范解答過程。

　　解：根據題意，

　　因為

　　，即

　　，所以

　　由“遠航”號沿東北方向航行可知

　　。因此

　　，即“海天”號沿西北方向航行。

　　課堂練習1。課本33頁練習第3題。

　　課堂練習2。在

　　港有甲、乙兩艘漁船，若甲船沿北偏東

　　方向以每小時8海里速度前進，乙船沿南偏東某方向以每小時15海里速度前進，1小時后甲船到達

　　島，乙船到達

　　島，且

　　島與

　　島相距17海里，你能知道乙船沿哪個方向航行嗎？

　　【設計意圖】學生在規范化的解答過程及練習中，提升對勾股定理逆定理的認識以及實際應用的能力。

　　3。補充訓練，鞏固新知

　　問題3實驗中學有一塊四邊形的空地

　　若每平方米草皮需要200元，問學校需要投入多少資金購買草皮？

　　師生活動：先由學生獨立思考。若學生有想法，則由學生先說思路，然后教師追問：你是怎么想到的？對學生思路中的合理成分進行總結；若學生沒有思路，教師可引導學生分析：從所要求的結果出發是要知道四邊形的面積，而四邊形被它的`一條對角線分成兩個三角形，求出兩個三角形的面積和即可。啟發學生形成思路，最后由學生演板完成。

　　【設計意圖】引導學生利用輔助線解決問題，進一步養成利用勾股定理的逆定理解決實際問題的意識。

　　4。反思小結，觀點提煉

　　教師引導學生參照下面兩個方面，回顧本節課所學的主要內容，進行相互交流：

　　（1）知識總結：勾股定理以及逆定理的實際應用；

　　（2）方法歸納：數學建模的思想。

　　【設計意圖】通過小結，梳理本節課所學內容，總結方法，體會思想。

　　5。布置作業

　　教科書34頁習題17。2第3題，第4題，第5題，第6題。

　　五、目標檢測設計

　　1。小明在學校運動會上負責聯絡，他先從檢錄處走了75米到達起點，又從起點向東走了100米到達終點，最后從終點走了125米，回到檢錄處，則他開始走的方向是（假設小明走的每段都是直線）（）

　　A。南北B。東西C。東北D。西北

　　【設計意圖】考查運用勾股定理的逆定理解決實際生活問題。