圓和圓的位置關系教案

時間：2023-03-21 18:35:38 教案

圓和圓的位置關系教案

　　在教學工作者實際的教學活動中，常常要根據(jù)教學需要編寫教案，借助教案可以更好地組織教學活動。那么寫教案需要注意哪些問題呢？以下是小編收集整理的圓和圓的位置關系教案，歡迎閱讀與收藏。

圓和圓的位置關系教案

圓和圓的位置關系教案1

　　目標：

　　知識目標：經(jīng)歷探索兩個圓之間位置關系的過程；了解圓與圓之間的幾種位置關系；了解兩圓外切、內(nèi)切與兩圓圓心距d、半徑R和r的數(shù)量關系的聯(lián)系

　　重點和難點

　　重點：圓與圓之間的幾種位置關系

　　難點：兩圓外切、內(nèi)切與兩圓圓心距d、半徑R和r的數(shù)量關系的聯(lián)系

　　教學過程設計

　　一、從學生原有的認知結(jié)構提出問題

　　1）復習點與圓的位置關系；2）復習直線與圓的位置關系。

　　二、師生共同研究形成概念

　　1.書本引例

　　☆ 想一想 P 125 平移兩個圓

　　利用平移實驗直觀地探索圓和圓的位置關系。

　　2.圓與圓的位置關系

　　每一種位置關系都可以先讓學生想想應該用什么名稱表達。在講解兩圓外切、內(nèi)切與兩圓圓心距d、半徑R和r的數(shù)量關系的聯(lián)系時，可先讓學生探索，老師不要生硬地把答案說出

　　☆ 鞏固練習若兩圓沒有交點，則這兩個圓的位置關系是相離；

　　若兩圓有一個交點，則這兩個圓的位置關系是相切；

　　若兩圓有兩個交點，則這兩個圓的位置關系是相交；

　　☆ 想一想書本P 126 想一想

　　通過實際例子讓學生理解圓與圓的'位置關系。

　　3.圓與圓相切的性質(zhì)

　　☆ 想一想書本P 127 想一想

　　旨在引導學生思考兩圓相切的性質(zhì)：如果兩圓相切，那么兩圓的連心線經(jīng)過切點，這一性質(zhì)是下面議一議的基礎。學生容易看出兩圓相切圖形的軸對稱性及對稱軸，但要說明切點在連心線上則有一定困難。

　　如果兩圓相切，那么兩圓的連心線經(jīng)過切點

　　4.講解例題

　　例1.已知⊙ 、⊙ 相交于點A、B，∠A B = 120°，∠A B = 60°， = 6cm。求：（1）∠ A 的度數(shù)；2）⊙ 的半徑和⊙ 的半徑。

　　5.講解例題

　　例2.兩個同樣大小的肥皂泡粘在一起，其剖面如圖所示，分隔兩個肥皂泡的肥皂膜PQ成一條直線，TP、NP分別為兩圓的切線，求∠TPN的大小。

　　三、隨堂練習

　　1.書本 P 128 隨堂練習

　　2.《練習冊》 P 59

　　四、小結(jié)

　　圓與圓的位置關系；圓心距與兩圓半徑和兩圓的關系。

　　五、作業(yè)

　　書本 P 130 習題3.9 1

　　六、教學后記

圓和圓的位置關系教案2

　　教學目標：

　　1、掌握圓與圓的五種位置關系的定義、性質(zhì)及判定方法；兩圓連心線的性質(zhì)；

　　2、通過兩圓的位置關系，培養(yǎng)學生的分類能力和數(shù)形結(jié)合能力；

　　3、通過演示兩圓的位置關系，培養(yǎng)學生用運動變化的觀點來分析和發(fā)現(xiàn)問題的能力、

　　教學重點：

　　兩圓的五種位置與兩圓的半徑、圓心距的數(shù)量之間的關系、

　　教學難點：

　　兩圓位置關系及判定、

　　（一）復習、引出問題

　　1、復習：直線和圓有幾種位置關系？各是怎樣定義的？

　　（教師主導，學生回憶、回答）直線和圓有三種位置關系，即直線和圓相離、相切、相交、各種位置關系是通過直線與圓的公共點的個數(shù)來定義的

　　2、引出問題：平面內(nèi)兩個圓，它們作相對運動，將會產(chǎn)生什么樣的位置關系呢？

　　（二）觀察、分類，得出概念

　　1、讓學生觀察、分析、比較，分別得出兩圓：外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含（包括同心圓）這五種位置關系，準確給出描述性定義：

　　（1）外離：兩個圓沒有公共點，并且每個圓上的點都在另一個圓的外部時，叫做這兩個圓外離、（圖（1））

　　（2）外切：兩個圓有唯一的公共點，并且除了這個公共點以外，每個圓上的點都在另一個圓的外部時，叫做這兩個圓外切、這個唯一的公共點叫做切點、（圖（2））

　　（3）相交：兩個圓有兩個公共點，此時叫做這兩個圓相交、（圖（3））

　　（4）內(nèi)切：兩個圓有唯一的公共點，并且除了這個公共點以外，一個圓上的點都在另一個圓的內(nèi)部時，叫做這兩個圓內(nèi)切、這個唯一的公共點叫做切點、（圖（4））

　　（5）內(nèi)含：兩個圓沒有公共點，并且一個圓上的點都在另一個圓的內(nèi)部時，叫做這兩個圓內(nèi)含（圖（5））、兩圓同心是兩圓內(nèi)含的一個特例、（圖（6））

　　2、歸納：

　　（1）兩圓外離與內(nèi)含時，兩圓都無公共點、

　　（2）兩圓外切和內(nèi)切統(tǒng)稱兩圓相切，即外切和內(nèi)切的共性是公共點的個數(shù)唯一

　　（3）兩圓位置關系的五種情況也可歸納為三類：相離（外離和內(nèi)含）；相交；相切（外切和內(nèi)切）、

　　教師組織學生歸納，并進一步考慮：從兩圓的公共點的個數(shù)考慮，無公共點則相離；有一個公共點則相切；有兩個公共點則相交、除以上關系外，還有其它關系嗎？可能不可能有三個公共點？

　　結(jié)論：在同一平面內(nèi)任意兩圓只存在以上五種位置關系、

　　（三）分析、研究

　　1、相切兩圓的性質(zhì)、

　　讓學生觀察連心線與切點的關系，分析、研究，得到相切兩圓的連心線的性質(zhì)：

　　如果兩個圓相切，那么切點一定在連心線上、

　　這個性質(zhì)由圓的軸對稱性得到，有興趣的同學課下可以考慮如何對這一性質(zhì)進行證明

　　2、兩圓位置關系的數(shù)量特征、

　　設兩圓半徑分別為R和r、圓心距為d，組織學生研究兩圓的五種位置關系，r和d之間有何數(shù)量關系、（圖形略）

　　兩圓外切d＝R+r；

　　兩圓內(nèi)切d＝R—r （R＞r）；

　　兩圓外離d＞R+r；

　　兩圓內(nèi)含d＜R—r（R＞r）；

　　兩圓相交R—r＜d＜R+r、

　　說明：注重“數(shù)形結(jié)合”思想的教學、

　　（四）應用、練習

　　例1：如圖，⊙O的半徑為5厘米，點P是⊙O外一點，OP=8厘米

　　求：（1）以P為圓心作⊙P與⊙O外切，小圓⊙P的半徑是多少？

　　（2）以P為圓心作⊙P與⊙O內(nèi)切，大圓⊙P的半徑是多少？

　　解：（1）設⊙P與⊙O外切與點A，則

　　PA=PO—OA

　　∴PA=3cm、

　　（2）設⊙P與⊙O內(nèi)切與點B，則

　　PB=PO+OB

　　∴PB=1 3cm、

　　例2：已知：如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝8，以AC為直徑作⊙O，以B為圓心，4為半徑作、

　　求證：⊙O與⊙B相外切、

　　證明：連結(jié)BO，∵AC為⊙O的直徑，AC＝12，

　　∴⊙O的半徑，且O是AC的中點

　　∴，∵∠C=90°且BC=8，

　　∴，

　　∵⊙O的半徑，⊙B的半徑，

　　∴BO=，∴⊙O與⊙B相外切、

　　練習（P138）

　　（五）小結(jié)

　　知識：①兩圓的五種位置關系：外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含；

　　②以及這五種位置關系下圓心距和兩圓半徑的數(shù)量關系；

　　③兩圓相切時切點在連心線上的性質(zhì)、

　　能力：觀察、分析、分類、數(shù)形結(jié)合等能力、

　　思想方法：分類思想、數(shù)形結(jié)合思想、

　　（六）作業(yè)

　　教材P151中習題A組2，3，4題、

　　第二課時相交兩圓的性質(zhì)

　　教學目標

　　1、掌握相交兩圓的性質(zhì)定理；

　　2、掌握相交兩圓問題中常添的輔助線的作法；

　　3、通過例題的分析，培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力；

　　4、結(jié)合相交兩圓連心線性質(zhì)教學向?qū)W生滲透幾何圖形的對稱美、

　　教學重點

　　相交兩圓的性質(zhì)及應用、

　　教學難點

　　應用軸對稱來證明相交兩圓連心線的性質(zhì)和準確添加輔助線、

　　教學活動設計

　　（一）圖形的對稱美

　　相切兩圓是以連心線為對稱軸的對稱圖形、相交兩圓具有什么性質(zhì)呢？

　　（二）觀察、猜想、證明

　　1、觀察：同樣相交兩圓，也構成對稱圖形，它是以連心線為對稱軸的軸對稱圖形、

　　2、猜想：“相交兩圓的連心線垂直平分公共弦”、

　　3、證明：

　　對A層學生讓學生寫出已知、求證、證明，教師組織；對B、C層在教師引導下完成、

　　已知：⊙O1和⊙O2相交于A，B、

　　求證：Q1O2是AB的垂直平分線、

　　分析：要證明O1O2是AB的垂直平分線，只要證明O1O2上的.點和線段AB兩個端點的距離相等，于是想到連結(jié)O1A、O2A、O1B、O2B、

　　證明：連結(jié)O1A、O1B、 O2A、O2B，∵O1A=O1B，

　　∴O1點在AB的垂直平分線上、

　　又∵O2A＝O2B，∴點O2在AB的垂直平分線上、

　　因此O1O2是AB的垂直平分線、

　　也可考慮利用圓的軸對稱性加以證明：

　　∵⊙Ol和⊙O2，是軸對稱圖形，∴直線O1O2是⊙Ol和⊙O2的對稱軸、

　　∴⊙Ol和⊙O2的公共點A關于直線O1O2的對稱點即在⊙Ol上又在⊙O2上、

　　∴A點關于直線O1O2的對稱點只能是B點，

　　∴連心線O1O2是AB的垂直平分線、

　　定理：相交兩圓的連心線垂直平分公共弦、

　　注意：相交兩圓連心線垂直平分兩圓的公共弦，而不是相交兩圓的公共弦垂直平分兩圓的連心線、

　　（三）應用、反思

　　例1、已知兩個等圓⊙Ol和⊙O2相交于A，B兩點，⊙Ol經(jīng)O2。

　　求∠OlAB的度數(shù)、

　　分析：由所學定理可知，O1O2是AB的垂直平分線，

　　又⊙O1與⊙O2是兩個等圓，因此連結(jié)O1O2和AO2，AO1，△O1AO2構成等邊三角形，同時可以推證⊙Ol和⊙O2構成的圖形不僅是以O1O2為對稱軸的軸對稱圖形，同時還是以AB為對稱軸的軸對稱圖形、從而可由

　　∠OlAO2＝60°，推得∠OlAB＝30°、

　　解：⊙O1經(jīng)過O2，⊙O1與⊙O2是兩個等圓

　　∴OlA= O1O2= AO2

　　∴∠O1A O2=60°，

　　又AB⊥O1O2

　　∴∠OlAB =30°、

　　例2、已知，如圖，A是⊙Ol、⊙O2的一個交點，點P是O1O2的中點。過點A的直線MN垂直于PA，交⊙Ol、⊙O2于M、N。

　　求證：AM=AN、

　　證明：過點Ol、O2分別作OlC⊥MN、O2D⊥MN，垂足為C、D，則OlC∥PA∥O2D，且AC=AM，AD=AN、

　　∵OlP= O2P，∴AD=AM，∴AM=AN、

　　例3、已知：如圖，⊙Ol與⊙O2相交于A、B兩點，C為⊙Ol上一點，AC交⊙O2于D，過B作直線EF交⊙Ol、⊙O2于E、F、

　　求證：EC∥DF

　　證明：連結(jié)AB

　　∵在⊙O2中∠F=∠CAB，

　　在⊙Ol中∠CAB=∠E，

　　∴∠F=∠E，∴EC∥DF、

　　反思：在解有關相交兩圓的問題時，常作出連心線、公共弦，或連結(jié)交點與圓心，從而把兩圓半徑，公共弦長的一半，圓心距集中到一個三角形中，運用三角形有關知識來解，或者結(jié)合相交弦定理，圓周角定理綜合分析求解、

　　（四）小結(jié)

　　知識：相交兩圓的性質(zhì)：相交兩圓的連心線垂直平分公共弦、該定理可以作為證明兩線垂直或證明線段相等的依據(jù)、

　　能力與方法：①在解決兩圓相交的問題中常常需要作出兩圓的公共弦作為輔助線，使兩圓中的角或線段建立聯(lián)系，為證題創(chuàng)造條件，起到了“橋梁”作用；②圓的對稱性的應用、

　　（五）作業(yè)教材P152習題A組7、8、9題；B組1題、

圓和圓的位置關系教案3

　　教學目標

　　(一)教學知識點

　　1．了解圓與圓之間的幾種位置關系．

　　2．了解兩圓外切、內(nèi)切與兩圓圓心距d、半徑R和r的數(shù)量關系的聯(lián)系．

　　(二) 能力訓練要求

　　1．經(jīng)歷探索兩個圓之間位置關系的過程，訓練學生的探索能力．

　　2．通過平移實驗直觀地探索圓和圓的位置關系，發(fā)展學生的識圖能力和動手操作能力．

　　(三)情感與價值觀要求

　　1．通過探索圓和圓的位置關系，體驗數(shù)學活動充滿著探索與創(chuàng)造，感受數(shù)學的嚴謹性以及數(shù)學結(jié)論的確定性．

　　2．經(jīng)歷探究圖形的位置關系，豐富對現(xiàn)實空間及圖形的認識，發(fā)展形象思維．

　　教學重點

　　探索圓與圓之間的幾種位置關系，了解兩圓外切、內(nèi)切與兩圓圓心距d、半徑R和r的數(shù)量關系的聯(lián)系．

　　教學難點

　　探索兩個圓之間的位置關系，以及外切、內(nèi)切時兩圓圓心距d、半徑R和r的數(shù)量關系的過程．

　　教學方法

　　教師講解與學生合作交流探索法

　　教具準備

　　投影片三張

　　第一張：(記作3． 6A)

　　第二張：(記作3．6B)

　　第三張：(記作3．6C)

　　教學過程

　　Ⅰ．創(chuàng)設問題情境，引入新課

　　[師]我們已經(jīng)研究過點和圓的位置關系，分別為點在圓內(nèi)、點在圓上、點在圓外三種；還探究了直線和圓的位置關系，分別為相離、相切、相交．它們的位置關系都有三種．今天我們要學習的內(nèi)容是圓和圓的位置關系，那么結(jié)果是不是也是三種呢？沒有調(diào)查就沒有發(fā)言權．下面我們就來進行有關探討．

　　Ⅱ．新課講解

　　一、想一想

　　[師]大家思考一下，在現(xiàn)實生活中你見過兩個圓的哪些位置關系呢？

　　[生]如自行車的`兩個車輪間的位置關系；車輪輪胎的兩個邊界圓間的位置關系；用一只手拿住大小兩個圓環(huán)時兩個圓環(huán)間的位置關系等．

　　[師]很好，現(xiàn)實生活中我們見過的有關兩個圓的位置很多．下面我們就來討論這些位置關系分別是什么．

　　二、探索圓和圓的位置關系

　　在一張透明紙上作一個⊙O．再在另一張透明紙上作一個與⊙O1半徑不等的⊙O2．把兩張透明紙疊在一起，固定⊙O1，平移⊙O2，⊙O1與⊙O2有幾種位置關系？

　　[師]請大家先自己動手操作，總結(jié)出不同的位置關系，然后互相交流．

　　[生]我總結(jié)出共有五種位置關系，如下圖：

　　[師]大家的歸納、總結(jié)能力很強，能說出五種位置關系中各自有什么特點嗎？從公共點的個數(shù)和一個圓上的點在另一個圓的內(nèi)部還是外部來考慮．

　　[生]如圖：(1)外離：兩個圓沒有公共點，并且每一個圓上的點都在另一個圓的外部；

　　(2)外切：兩個圓有唯一公共點，除公共點外一個圓上的點都在另一個圓的外部；

　　(3)相交：兩個圓有兩個公共點，一個圓上的點有的在另一個圓的外部，有的在另一個圓的內(nèi)部；

　　(4)內(nèi)切：兩個圓有一個公共點，除公共點外，⊙O2上的點在⊙O1的內(nèi)部；

　　(5)內(nèi)含：兩個圓沒有公共點，⊙O2上的點都在⊙O1的內(nèi)部．

　　[師]總結(jié)得很出色，如果只從公共點的個數(shù)來考慮，上面的五種位置關系中有相同類型嗎？

　　[生]外離和內(nèi)含都沒有公共點；外切和內(nèi)切都有一個公共點；相交有兩個公共點．

　　[師]因此只從公共點的個數(shù)來考慮，可分為相離、相切、相交三種．

　　經(jīng)過大家的討論我們可知：

　　投影片(24.3A)

　　(1)如果從公共點的個數(shù)，和一個圓上的點在另一個圓的外部還是內(nèi)部來考慮，兩個圓的位置關系有五種：外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含．

　　(2)如果只從公共點的個數(shù)來考慮分三種：相離、相切、相交，并且相離，相切

　　三、例題講解

　　投影片(24.3B)

　　兩個同樣大小的肥皂泡黏在一起，其剖面如圖所示(點O，O＇是圓心)，分隔兩個肥皂泡的肥皂膜PQ成一條直線，TP、NP分別為兩圓的切線，求TPN的大小．

　　分析：因為兩個圓大小相同，所以半徑OP＝O＇P＝OO＇，又TP、NP分別為兩圓的切線，所以PTOP，PNO＇P，即OPT＝O＇PN＝90，所以TPN等于36 0減去OPT＋O＇PN＋OPO＇即可．

　　解：∵OP＝OO＇＝PO＇，

　　△PO＇O是一個等邊三角形．

　　OPO＇＝60．

　　又∵TP與NP分別為兩圓的切線，

　　TPO ＝NPO＇＝90．

　　TPN＝360－290－60＝120．

　　四、想一想

　　如圖(1)，⊙O1與⊙O2外切，這個圖是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什么？切點與對稱軸有什么位置關系？如果⊙O1與⊙O2內(nèi)切呢？〔如圖(2 )〕

　　[師]我們知道圓是軸對稱圖形，對稱軸是任一直徑所在的直線，兩個圓是否也組成一個軸對稱圖形呢？這就要看切點T是否在連接兩個圓心的直線上，下面我們用反證法來證明．反證法的步驟有三步：第一步是假設結(jié)論不成立；第二步是根據(jù)假設推出和已知條件或定理相矛盾的結(jié)論；第三步是證明假設錯誤，則原來的結(jié)論成立．

　　證明：假設切點T不在O1O2上．

　　因為圓是軸對稱圖形，所以T關于O1O2的對稱點T＇也是兩圓的公共點，這與已知條件⊙O1和⊙O2相切矛盾，因此假設不成立．

　　則T在O1O2上．

　　由此可知圖(1)是軸對稱圖形，對稱軸是兩圓的連心線，切點與對稱軸的位置關系是切點在對稱軸上．

　　在圖(2)中應有同樣的結(jié)論．

　　通過上面的討論，我們可以得出結(jié)論：兩圓相內(nèi)切或外切時，兩圓的連心線一定經(jīng)過切點，圖(1)和圖(2)都是軸對稱圖形，對稱軸是它們的連心線．

　　五、議一議

　　投影片(24.3C)

　　設兩圓的半徑分別為R和r．

　　(1)當兩圓外切時，兩圓圓心之間的距離(簡稱圓心距)d與R和r具有怎樣的關系？反之當d與R和r滿足這一關系時，這兩個圓一定外切嗎？

　　(2)當兩圓內(nèi)切時(R＞r)，圓心距d與R和r具有怎樣的關系？反之，當d與R和r滿足這一關系時，這兩個圓一定內(nèi)切嗎？

　　[師]如圖，請大家互相交流．

　　[生]在圖(1)中，兩圓相外切，切點是A．因為切點A在連心線 O1O2上，所以O1O2＝O1A＋O2A＝R＋r，即d＝R＋r；反之，當d＝R＋r時，說明圓心距等于兩圓半徑之和，O1、A、O2在一條直線上，所以⊙O1與⊙O2只有一個交點A，即⊙O1與⊙O2外切．

　　在圖(2)中，⊙O1與⊙O2相內(nèi)切，切點是 B．因為切點B在連心線O1O2上，所以 O1O2＝O1B－O2B，即d＝R－r；反之，當d＝R－r時，圓心距等于兩半徑之差，即O1O2＝O1B－O2B，說明O1、O2、B在一條直線上，B既在⊙O1上，又在⊙O2上，所以⊙O1與⊙O2內(nèi)切．

　　[師]由此可知，當兩圓相外切時，有d＝R＋r，反過來，當d＝R＋r時，兩圓相外切，即兩圓相外切 d＝R＋r．

　　當兩圓相內(nèi)切時，有d＝R－r，反過來，當d＝R－r時，兩圓相內(nèi) 切，即兩圓相內(nèi)切 d＝R－r．

　　Ⅲ．課堂練習

　　隨堂練習

　　Ⅳ．課時小結(jié)

　　本節(jié)課學習了如下內(nèi)容：

　　1．探索圓和圓的五種位置關系；

　　2．討論在兩圓外切或內(nèi)切情況下，圖形的軸對稱性及對稱軸，以及切點和對稱軸的位置關系；

　　3．探討在兩圓外切或內(nèi)切時，圓心距d與R和r之間的關系．

　　Ⅴ．課后作業(yè) 習題24.3

　　Ⅵ．活動與探究

　　已知圖中各圓兩兩相切，⊙O的半徑為2R，⊙O1、⊙O2的半徑為R，求⊙O3的半徑．